为什么矩阵的各行元素的和等于其特征值

Question

如题所述

Answer 1

因为因为 A 乘列向量 (1,1,1.,1)^T 时 相当于把A的各行加起来构成一个列向量，利用根与系数的关系可得。

例

令 x = (1,1,1)^T

则由已知条件得 Ax = (3,3,3)^T = 3(1,1,1)^T = 3x。

所以 3 是A的特征值,x 是A的属于特征值3 的特征向量。

扩展资料

特征值与特征向量

主条目：特征值，特征向量

1、n×n的方块矩阵A的一个特征值和对应特征向量是满足 的标量以及非零向量  。其中v为特征向量， 为特征值。

2、A的所有特征值的全体，叫做A的谱 [15]  ，记为 。矩阵的特征值和特征向量可以揭示线性变换的深层特性。

矩阵的分解

主条目：矩阵分解

矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积 [15]  ，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。

1、三角分解

设 ,则A可以唯一地分解为A=U1R ,其中U1是酉矩阵，R是正线上三角复矩阵，或A可以唯一地分解为其中L是正线上三角复矩阵，是酉矩阵   。

2、谱分解

谱分解（Spectral decomposition）是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解 [18]  。

3、奇异值分解

（1）假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域K，也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解使得其中U是m×m阶酉矩阵；Σ是m×n阶实数对角矩阵。

（2）而V*，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解 。Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。常见的做法是将奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。

4、满秩分解

设 ，若存在矩阵 及 ，使得A=FG，则称其为的A一个满秩分解。

5、LUP分解

LUP分解的思想就是找出三个n×n矩阵L,U,P，满足 . 其中L是一个单位下三角矩阵，U是一个单位上三角矩阵，P是一个置换矩阵。 而满足分解条件的矩阵L,U,P称为矩阵A的一个LUP分解。

参考资料：百度百科-矩阵

Answer 2

我知道你是想问各行元素的和（设为a）相等，这个和等于特征值吧。特征多项式|A-rE|把从第二列开始的每一列加到第一列，就可以提出一个公因式（a-r），所以a是矩阵A的特征值。

Answer 3

因为 A 乘列向量 (1,1,1.,1)^T 时 相当于把A的各行加起来构成一个列向量。本回答被网友采纳

Answer 4

因为 A 乘列向量 (1,1,1.,1)^T 时 相当于把A的各行加起来构成一个列向量。
我知道你是想问各行元素的和（设为a）相等，这个和等于特征值吧。特征多项式|A-rE|把从第二列开始的每一列加到第一列，就可以提出一个公因式（a-r），所以a是矩阵A的特征值。本回答被提问者采纳

Answer 5

。。。哪来的定理追答

前提是各行元素之和等于一个数才成立啊。。。