交轨法的例题

Question

如题所述

Answer 1

Ⅰ.已知过抛物线Y^2=4X的焦点F的直线交抛物线于AB两点 过原点O作OM⊥AB 垂足为M 求点M轨迹方程。
解：（需对斜率是否存在进行分类讨论）
a.当直线斜率不存在时，直线方程为x=1.此时M点坐标为（1,0）
b.当直线斜率存在时，设直线AB的方程y=k(x-1)①
则直线OM的方程可写成y=-x/k②
两式相乘消去k 得y^2=-x(x-1)
即点M的轨迹方程为(x-1/2)^2+y^2=1/4
将M（1,0）代入上式，知点M(1,0)在该轨迹上
∴综上所述，M的轨迹方程为(x-1/2)^2+y^2=1/4
Ⅱ.已知直线与抛物线y^2=2px(p>0)交于A、B两点，且OA⊥OB。求O在AB上射影M的轨迹方程。
解：设kOA=k kOB=-1/k
则A(2P/k^2,2P/k) B(2Pk^2,-2Pk) 得kAB
AB经过定点(2P,0) LAB: y=kAB(x-P/2))①
kOM=-1/kAB
得LOM:y=KOMx②
①② 相乘 得y^2+x^2-2P=0
y^2+（x-P)^2=P^2