反函数的导数等于直接函数的导数的倒数，其前提条件必须是直接函数在定义域内严格单调，可导吗？

反函数的导数等于直接函数的导数的倒数，其前提条件必须是直接函数在定义域内严格单调，可导吗？反函数的导数等于直接函数的导数的倒数，其前提条件必须是直接函数在定义域内严格单调，可导吗？

推荐答案 2016-11-04

　　你说的是对的，但是不是叫定义域内，而是各自的定义域内，也就是如果存在间断点，那么在间断点以外的几个定义域内单调即可。
　　记y=f(t)，和t=F(y)两个函数互为反函数，则有dy/dt=f`(t)，dt/dy=F`(y)，两边同时相乘，则有f`(t)F`(y)=1
　　这样的推导过程，要求是必须可导的。至于说严格单调，是因为只有单调函数才能有反函数，也就是必须是y与x是一一对应的才行，否则没有反函数，就不用说反函数的导函数什么的了。

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第1个回答 2016-11-04

不一定在定义域内严格单调，只需要函数值和自变量一一对应后即可，简单的说，只要能有反函数，这个性质就成立。
而要反函数的要求，并不需要函数是严格单调的。
例如函数f（x）=1/x，这个函数在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）里面不是单调函数，只是在两个区间内各自单调。但是这个定义域内不单调的函数，有反函数，其反函数的导数，也是原函数导数的倒数。本回答被提问者采纳

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