如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点

Question

如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以2厘米/每秒的相同速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．设运动时间为t秒．（1）用含t的式子表示：AP=______，AE=______，BE=______．（2）当∠BQD=30°时，求AP的长；（3）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．

Answer 1

（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠A=60°，
根据题意得：AP=2tcm，
∵PE⊥AB，
∴AE=AP?cos60°=t（cm），
∴BE=AB-AE=6-t（cm）；
故答案为：2tcm，tcm，（6-t）cm；

（2）∵∠C=60°，∠BQD=30°，
∴△PCQ是直角三角形，
∴PC=

1

2

QC，
根据题意得：BQ=2tcm，则CQ=BC+BQ=6+2t（cm），PC=AC-AP=6-2t（cm），
∴6-2t=

1

2

（6+2t），
解得：t=1，
∴AP=2；

（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ=∠AEP=90°，
∵点P、Q速度相同，
∴AP=BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，
在△APE和△BQF中，
∵∠AEP=∠BFQ=90°，
∴∠APE=∠BQF，
∴在△APE和△BQF中，

∠AEP＝∠BFQ  ∠A＝∠FBQ  AP＝BQ

，
∴△APE≌△BQF（AAS），
∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE=

1

2

EF，
∵EF=BE+BF=BE+AE=AB，
∴DE=

1

2

AB，
又∵等边△ABC的边长为6，
∴DE=3，
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．