求过椭圆外一点（4,1）,与椭圆x2/6+y2/3=1相切的直线方程

Question

如题所述

Answer 1

设切点坐标为P(x0,y0),
用隐函数求导,2x/6+2y*y'/3=0,
y'=-x/(2y),
在(x0,y0)处导数为:-x0/(2y0),
切线斜率k=(1-y0)/(4-x0)=-x0/(2y0),
x0^2+2y0^2=4x0+2y0,(1)
因P(x0,y0)点在椭圆上,
故x0^2/6+y0^2/3=1,
x0^2+2y0^2=6,(2)
对比(1)式和(2)式,
4x0+2y0=6,
2x0+y0=3,
y0=3-2x0,(3)
代入(2)式,3x0^2-8x0+4=0,
(3x0-2)(x0-2)=0,
∴x0=2/3,或x0=2,
y0=5/3,或y0=-1,
∴ 切线方程为:(y-5/3)/(x-2/3)=(-2/3)/(2*5/3)
即:3x+15y-27=0.
或,(y+1)/(x-2)=(-2/(-2)=1,
即:y=x-1.

Answer 2

用一般的方法
设该直线是y-1=k(x-4)
再和x2/6+y2/3=1连列求更得判别式=0时k的值。
（2k^2+1)x^2+(-16k^2+4k)x+(32k^2-16k-4)=0
△=(-16k^2+4k)^2-4(2k^2+1)(32k^2-16k-4)=0
得k1=1,k2=-1/5
所以切线方程是
y=x-3,和y=-1/5x+9/5

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Answer 3

假设所求直线斜率存在，用点斜式令其为y-1=k(x-4)
将直线方程代入椭圆方程得关于x的方程(1+2k^2)x^2+4k(1-4k)x+4(8k^2-4k-1)=0
令△=0，整理得5k^2-4k-1=0，即(5x+1)(k-1)=0
解得k=-1/5或k=1
则所求直线方程为：
y-1/5x+9/5或
y=x-3