不定积分算出来两个不一样的答案，求解

Question

如图，两种不同的方法算出来的arcsinx不一样，是算错了吗？？

Answer 1

注意一下取值范围。。

不定积分结果不唯一求导验证应该能够提高凑微分的计算能力先写别问唉。。

举报数字帝国GG泛滥但是是一个计算器网页。

那就用symbolab。

Answer 2

Let √t = √2 sinθ

∫ √(2-t) d√t = ∫ 2cos^2 θ dθ = ∫ 1+cos2θ dθ = θ + (1/2)sin2θ + c = θ + sinθcosθ + c
= arcsin√(t/2) + √(t/2) √(1-t/2) + c
= arcsin√((1-x)/2) + √((1-x)/2) √(1-(1-x)/2) + c
= arcsin√((1-x)/2) + (1/2)√(1-x^2) + c
乘 -2 得原积分 = -2arcsin√((1-x)/2) - √(1-x^2) + c
要检查两个不同的答案是否都正确，只需要看
（arcsinx)' 是否等于【-2arcsin√((1-x)/2) 】’
（arcsinx)' = 1/√(1-x^2)
【-2arcsin√((1-x)/2) 】’= {-2/√[1-((1-x)/2)] }{1/[2√((1-x)/2)]}(-1/2)
= {1/√[1-((1-x)/2)] }{1/[2√((1-x)/2)]}
= 1/[√(1+x) √(1-x)]
= 1/√(1-x^2)
所以两个答案都是正确的。追问

我的评论里有一个人说不能套用平方差公式，您能看一下为什么吗？

追答

∫ √(2-t) d√t
可以用公式做：a = √2, x = √t
∫ √(2-t) d√t = (1/2)√t √(2-t) + arcsin(√(t/2))

追问

👌🏻谢谢

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Answer 3

②的计算过程有误。除系数符号外，∫√(2-t)d(√t)≠arcsin[√(t/2)]-[√(t/2)]√(2-t)+C。
供参考。追问

为什么不等于呢？有这样一个公式啊？

追答

对“∫√(a²-x²)dx”型积分，的确有“∫√(a²-x²)dx=(x/2)√(a²-x²)+(a²/2)arcsin(x/a)+C”的公式。
但，本题中不能“套用”这个公式，是因为d(√t)所针对的变量是“√t”而非“t”【即前面公式中的“x”】。事实上，用分部积分法，∫√(2-t)d(√t)=(√t)√(2-t)+(1/2)∫(√t)dt/√(2-t)+…，已经显示出变量不同而有的差异了。
供参考。

追问

那你能帮我看一下为什么这道题的 根号x 可以用平方差公式套用呢？
我提高了悬赏，麻烦您帮我解答一下，谢谢🙏🏻

两个都是平方差的公式套用，为什么第二道可以，第一道不行呢

Answer 4