如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，连接AF，M为AF的中点，连接MB、ME 求证：（1）MB=ME （2）MB⊥ME

Question

如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，连接AF，M为AF的中点，连接MB、ME
求证：（1）MB=ME
（2）MB⊥ME
图，快点

Answer 1

证明：

过点A作EF的平行线，交EM的延长线于点H

延长EC，交HA的延长线于点P

∵M是AF的中点

∴△AHM≌△FEM

∴AH=EF=EC，HM=EM

∵P=∠ECG=90°=∠ABC，∠1=∠2

∴∠PAB=∠PCB

∴∠BAH=∠BCE

∵BA=BC

∴△ABH≌△CBE

∴∠3=∠4，BH=BE

∴∠3+∠CBH=∠4+∠CBH=∠EBH=90°

即△BEH是等腰直角三角形

∵M是HE的中点

∴BM=ME，BM⊥ME

Answer 2

证明：

作AH、FI⊥BE延长线于H、I，MN⊥BE于N，CJ⊥BE于J

(1)

∵AH⊥BE,FI⊥BE,MN⊥BE

∴AH∥FI∥MN

而M为AF的中点

∴MN为梯形AHIF的中位线

∴HN=IN

在正方形CEFG中，有CE⊥EF

∴∠FEI+∠JEC=90°

∵CJ⊥BE

∴∠JCE+∠JEC=90°

∴∠FEI=∠JCE

同理∠EFI=∠JEC

又CE=EF

∴△CEJ≌△EFI

∴EI=CJ

同理BH=CJ

∴BH=EI

又HN=IN

∴BN=NE

而MN⊥BE

∴MN为BE的中垂线

∴BM=ME

(2)

∵△CEJ≌△EFI

∴FI=JE

同理AH=BJ

∴AH+FI=BJ+JE=BE

而MN为梯形AHIF的中位线

∴MN=(AH+FI)/2

∴MN=BE/2

又BN=NE

∴△BME为直角三角形

而BM=ME

∴△BME为等腰直角三角形

∴BM⊥ME

Answer 3

取BE中点N，连接MN，则：
MN//AB//EF，且MN为梯形ABEF的中位线，得：
MN=(1/2)(AB＋EF)=(1/2)(BC＋CE)=(1/2)BE
所以三角形MBE是直角三角形，得：
MB⊥ME
因AB垂直BC，则MN垂直BE，即三角形MBE是等腰直角三角形，则：MB=ME

Answer 4

倍长BM至H，连接HF
可得△ABM≌△FHM
∴AB=HF
连BE，EH
由四边形CEFG为正方形得CE=EF
由四边形ABCD为正方形得BC=HF
延长BC，过E作EI⊥BC
过F作FJ⊥EI
易得△CEI≌△EFJ
∴∠CEJ=∠JFE，CI∥FJ
∴∠HFJ=90°
∵∠BCE=90°+∠CEJ
∴∠BCE=∠HFE
∴△BEC≌△HEF
∴BE=EH
∠BEH=90°

Answer 5

这是一个典型题，需要做辅助线，体现不同的数学思想方法，如下
方法一。
作AH、FI⊥BE延长线于H、I，MN⊥BE于N，CJ⊥BE于J
(1)
∵AH⊥BE,FI⊥BE,MN⊥BE
∴AH∥FI∥MN
而M为AF的中点
∴MN为梯形AHIF的中位线
∴HN=IN

在正方形CEFG中，有CE⊥EF
∴∠FEI+∠JEC=90°
∵CJ⊥BE
∴∠JCE+∠JEC=90°
∴∠FEI=∠JCE
同理∠EFI=∠JEC
又CE=EF
∴△CEJ≌△EFI
∴EI=CJ
同理BH=CJ
∴BH=EI
又HN=IN
∴BN=NE
而MN⊥BE
∴MN为BE的中垂线
∴BM=ME

（2）简单了
方法二
过点A作EF的平行线，交EM的延长线于点H
延长EC，交HA的延长线于点P
∵M是AF的中点
∴△AHM≌△FEM
∴AH=EF=EC，HM=EM
∵P=∠ECG=90°=∠ABC，∠1=∠2
∴∠PAB=∠PCB
∴∠BAH=∠BCE
∵BA=BC
∴△ABH≌△CBE
∴∠3=∠4，BH=BE
∴∠3+∠CBH=∠4+∠CBH=∠EBH=90°
即△BEH是等腰直角三角形
∵M是HE的中点
∴BM=ME，BM⊥ME
方法三
倍长BM至H，连接HF
可得△ABM≌△FHM
∴AB=HF
连BE，EH
由四边形CEFG为正方形得CE=EF
由四边形ABCD为正方形得BC=HF
延长BC，过E作EI⊥BC
过F作FJ⊥EI
易得△CEI≌△EFJ
∴∠CEJ=∠JFE，CI∥FJ
∴∠HFJ=90°
∵∠BCE=90°+∠CEJ
∴∠BCE=∠HFE
∴△BEC≌△HEF
∴BE=EH
∠BEH=90°

Answer 6

图形的都看不到咋解哦!