怎样讲解小学数学同余问题

Question

如题所述

Answer 1

同余问题
在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时， ，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。
1. 同余的表达式和特殊符号
37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。
记作： （mod7） “ ”读作同余。
一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作：
2. 同余的性质
（1） （每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。）
（2）若 ，那么 （这称作同余的对称性）
（3）若 ， ，则 （这称为同余的传递性）
（4）若 ， ，则 （ ）（这称为同余的可加性、可减性）
（称为同余的可乘性）
（5）若 ，则 ，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：
如果
那么 （ 的差一定能被k整除）
这是为什么呢？

k也就是 的公约数，所以有

下面我们应用同余的这些性质解题。
【例题分析】
例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？
分析与解答：
假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以 ， ，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。

所以a最大是31。
例2. 除以19，余数是几？
分析与解答：
如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。

所以
此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。
例3. 有一个1997位数，它的每个数位都是2， 这个数除以13，商的第100位是几？最后余数是几？
分析与解答：
这个数除以13，商是有规律的。

商是170940六个数循环，那么 ，即 ，我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第100位是9。
余数是几呢？

则
所以商的个位数字应是“170940”中的第4个，商应是9，相应的余数是5。
【模拟试题】（答题时间：20分钟）
1. 6254与37的积除以7，余数是几？
2. 如果某数除482，992，1094都余74，这个数是几？

Answer 2

先从基本概念入手，解释清楚了，然后具体问题具体分析

Answer 3

　　两个整数a、b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余或a同余于b模m
　　记作 a≡b (mod m)
　　读作 a同余于b模m，或读作a与b对模m同余。
　　例如 26≡2 (mod 12)
　　【定义】设m是大于1的正整数，a、b是整数,如果m|(a-b)，则称a与b关于模m同余,记作a≡b(mod m),读作a与b对模m同余.
　　显然,有如下事实
　　(1)若a≡0(mod m),则m|a;
　　(2)a≡b(mod m)等价于a与b分别用m去除，余数相同。
　　【证明】
　　充分性: m|(a-b)——> a≡b(mod m)
　　设a=mq1+r1,b=mq2+r2
　　且0≤r1,r2<m
　　∵ m|(a-b)
　　又a-b=m(q1-q2)+(r1-r2).
　　∴必有常数n使得(r1-r2)=mn
　　则有m|(r1-r2).
　　∵0≤r1,r2<m,
　　∴0≤|r1-r2|<m
　　∴r1-r2=0
　　即r1=r2.
　　故a≡b(mod m).
　　必要性:a≡b(mod m)——>m|(a-b)
　　设a,b用m去除余数为r,
　　即a=mq1+r,b=mq2+r.
　　∵a-b=m(q1-q2)
　　∴m|(a-b).