已知（ax+1)^7(a不等于0），x^3的系数是x^2的系数与x^4的系数的等差中项，求a

Question

如题所述

Answer 1

(M+1)^7系数 1,7,21,35,35,21,7,1
=>(ax+1)^7=(ax)^7 +7(ax)^6+21(ax)^5+35(ax)^4+35(ax)^3+21(ax)^2+7(ax)+1
x^3的系数是35*a^3 , x^2的系数21*a^2 , x^4的系数35*a^4
=> 2(35*a^3)=(21*a^2)+(35*a^4) 消去7a^2
=>10a=3+5a^2 => 5a^2-10a+3=0
=>a=(5±√10)/5

Answer 2

(a*x+1)^7=a^7*x^7+7*a^6*x^6+21*a^5*x^5+35*a^4*x^4+35*a^3*x^3+21*a^2*x^2+7*a*x+1
x^3的系数是35*a^3；x^2的系数是21*a^2；x^4的系数是35*a^4
(21*a^2+35*a^4)/2=35*a^3
3+5*a^2=10*a
得a=1-(√10)/5或a=1+(√10)/5

Answer 3

通项为C7 (7-k)*(ax)&k
k=3时，出现x&3项，为C7 4*(ax)&3，此时对应系数为C7 4*a&3
k=2时，对应系数为C7 5*a&2
k=4时系数为C7 3*a&4
则有2*C7 4*a&3=C7 5*a&2+C7 3*a&4
即2*C7 3*a&3=C7 5*a&2+C7 3*a&4
2*C7 3*a&3-C7 3*a&4 =C7 5*a&2
2*C7 3*a-C7 3*a&2=C7 5

(7*6*5/3*2*1)(2a-a&2)=7*6/2*1

(5/3)(2a-a&2)=1
2a-a&2=3/5
a&2-2a+3/5=0
5a&2-10a+3=0
a=（5+根号10）/5或a=（5-根号10）/5

Answer 4

根据展开式公式,
x^3的系数是:C(7,4)*a^3=35a^3
x^2的系数是:C(7,5)*a^2=21a^2
x^4的系数是:C(7,3)*a^2=35a^4
x^3的系数是x^2的系数与x^4的系数的等差中项,则
2*35a^3=21a^2 35a^4,(a>1)
10a=3 5a^2
解得:a=1 √2/5或者a=1-√2/5（舍去）