同济大学《高等数学下册》，画波浪线的地方，为什么这样就求得了柱面方程呢？

Question

主要不理解方程（6-6）与方程（6-7）相减得到的方程y+z=1满足交线，但为什么把z=1-y带入方程得到的就是所求的柱面方程呢？

Answer 1

因为题目要求的是交线在xoy面上的投影，所以最终一定不能含有z，我们需要想办法找到一个方程，使它既满足6-6，又满足6-7，并且不能含有z，观察后发现直接相减不能消掉z，但可以得到z与y的关系，即y+z＝1，那么z就可以用1-y替换掉。最终就得到了不含z并且满足6-6和6-7的方程，这个方程没有z的限制，所以是柱面方程，令z=0，就得到了在xoy面上的投影。

Answer 2

x^2+2y^2-2y = 0 即：
x^2 + 2(y-1/2)^2 = 1/2
2x^2 + 4(y-1/2)^2 = 1
x^2/(1/2) + (y-1/2)^2/(1/4) = 1
为椭圆柱面。