高数题，海涅定理？？？

Question

如图

Answer 1

设t＝1/x，那么原极限等价于求t趋于无穷大cost的极限(cost是偶函数，正负无穷是一样的)
根据海涅定理，此极限等价于求序列cosnπ的极限
而cosn的极限是不存在的，因为n取2k，k趋于无穷大时，n趋于无穷大，这个子列极限是1
n取2k＋1，子列的极限是－1，那么两个子列极限不相等，cosnπ极限不存在，也就是原极限不存在。追答

第五行cosnπ少打了个π

Answer 2

洛必达法则只能用于连续的函数，比如x啊等等，函数中自变量是取实数，自变量是连续的。
而数列中自变量n是取正整数，自变量是离散的，也就是不连续。不能用洛必达法则。
实际上这题是可以用的，求数列极限时，先用海涅定理理转化成函数极限，再利用洛必达法则求相应的函数极限即可。
这道题的答案的做法如下:
将分子分母同除n³
原式=lim (1-1/n³)/(1+3n/n³)
=(1-0)/(1+0)
=1
实际上运用海涅定理转化成函数后，用两次洛必达求出的答案也为1。
如果没学过，具体可百度'海涅定理'

Answer 3

取ε=1，对任意δ>0，取k=[1/δ]+1，x1=1/(2kπ)，x2=1/[(2k+1)π]
|x1|、|x2|<1/k=1/([1/δ]+1)<=1/(1/δ)=δ
|f(x1)-f(x2)|=|cos(2kπ)-cos(2kπ+π)|=2>ε
由柯西收敛准则，函数在 x=0 处无极限