求高人帮忙解一道奥数题： 、在各位数码互不相同的10位数中，是11111的倍数的数有多少个？证明你的结论。

Question

如题所述

Answer 1

答案应该是5*4*3*2*1*2*2*2*2*2-4*3*2*1*2^4=3456。
十位数表示成abcdefghij=a*11111*10^5+(b-a)*11111*10^4+(c-b)*11111*10^3++(d-c)*11111*10^2+(e-d)*11111*10++(f-e)*11111+(a+f)*10^4+(b+g)*10^3+(c+h)*10^2+(d+i)*10^1+e+j
如果上述数能整除11111，那么余数为0。
得出：最后余数五位数必然是11111，22222等形式，也就是最后五位数相等。
这样的出结论，任何一个10位数如果能被11111整除，那么必须有如下特点：
a+f=b+g=c+h=d+i=e+j
如果这五组数各不相同而且从0-9，只能为09；18；27；36；45
排列组合为5*4*3*2*1，两个数字互换各2种可能再有2^5
除去0不能作为首位，减掉4*3*2*1*2^4种可能，因此答案为5*4*3*2*1*2^5--4*3*2*1*2^4=3456。
不知道对不对。

Answer 2

设这个10位数为 abcdefghij. 其中每个字母代表一个0到9的整数，a不等于0而且10个字母所代表的数字互不相同。注意到abcdefghij=abcde*10^5+fghij=abcde*(99999+1)+fghij=99999*abcde+(abcde+fghij),所以由abcdefghij能被11111整除可知：abcde+fghij 能被11111整除。又因为
abcde+fghij
=10^4(a+f)+10^3(b+g)+10^2(c+h)+10(d+i)+(e+j)
=9999(a+f)+999(b+g)+99(c+h)+9(d+i)+(e+j)+(a+b+c+d+e+f+g+h+i+j)
而a+b+c+d+e+f+g+h+i+j=45能被9整除，所以abcde+fghij能被9整除。又因为abcde+fghij是11111的倍数，而11111与9互质，所以abcde+fghij能被99999整除由abcde+fghij只能是5位数或者6位数(此时小于180000<18*11111)可知abcde+fghij必等于99999,因此只能有 a+f=b+g=c+h=d+i=e+j=9.
如果要求有哪些就需要全部列举出来，由于a不为0，所以从a=1到9都列举一遍，比如a=1,那么必有f=8;然后b再选剩下8个数中的任一个，g与之对应，以此类推:如12349 87650，23014 76985.，41269 58730。。。。。根据排列组合有第一位不允许0，得出(10*2-1)*(8*2)*(6*2)*(4*2)*2=58368种可能性。追问

最后的排列组合有点看不懂，请在解释一下

追答

首位不能为0，但可以1-9，对应首位第六位和为9，故对换位置1、6位共有10*2-1种；第二位第七位去掉2个后剩下8个*2第三位第八6*2第四4*2最后2个只能互换位置没数字可选，故可能性种类为(10*2-1)*(8*2)*(6*2)*(4*2)*2=58368种

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Answer 3

一会用计算机给你遍历一下看看
matlab程序如下：
clear
p = perms(0:9);
num = 0;
expN = 10.^(9:-1:0);
for i = 1:size(p,1)
if p(i,1) == 0
continue;
end
if mod( sum(p(i,:).*expN),11111) == 0
num = num+1;
end
end
disp(sprintf('一共有%d个\n',num));

计算结果为：一共有3456个！！！
因此楼上的那位zhongxun123456计算结果是对的，而推荐答案虽然分析的很好，但排列与组合部分计算错误。

这道题要是没做过类似的题，还能作出来的话，绝对是个天才，智商估计在200以上，呵呵

我承认读完这道题之后，大脑一片空白，连一点解题的思路都没有。。。追问

不知能不能把排列组合的计算方法告诉我

追答

zhongxun123456 排列与组合部分分析的是对的。

也可以这么分析：
第一位可放1-9，共有9种可能，第二位与第一位之和为9，只有一种可能；
第三位可放剩余的8个数字，有8种可能，第四位也只能有一种可能；
……
第9位置可放剩余2个数字，有2中可能，第10位也只有一种可能。
故，所有可能排列为9*8*6*5*4*2 = 3456个！
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