在1，2，3，4，……，100这100个自然数中任取两个不同的数，使得取出的两数之和是6的倍数，后多少种取法？

Question

东北育才网校题库9级题

Answer 1

将这100个数分成六类，被6除余1，有17个；被6除余2，有17个；被6除余3，有17个，6除余4，有17个，6除余5，有16个，6整除，有16个.被6除余1与被6除余5的两数之和能被6整除，共有17×16种不同的取法；同样被6除余2与被6除余4的两数之和能被6整除，共有17×17种不同的取法；再有被6除余3的数，它们中任意两数之和能被6整除，共有17×16÷2种不同的取法；同理被6整除的数，它们中任意两个数之和也能被6整除，共有16×15÷2种不同的取法.所以这100个数任取两个不同的数，使得其和是6的倍数的不同取法共有：
17×16+17×17+17×16÷2+16×15÷2=817（种）

Answer 2

将这100个数分成六类，一类是被6除余1，有17个；二是被6除余2，有17个；三是被6除余3，有17个，四是被6除余4，有17个，五是被6除余5，有16个，六是被6整除，有16个.被6除余1与被6除余5的两数之和能被6整
除，共有17×16种不同的取法；同样被6除余2与被6除余4的两数之和能被6整除，共有17×17种不同的取法；再有被6除余3的数，它们中任意两数之和能被6整除，共有17×16÷2种不同的取法；同理被6整除的数，它们中任意两个数之和也能被6整除，共有16×15÷2种不同的取法.所以这100个数任取两个不同的数，使得其和是6的倍数的不同取法共有：
17×16+17×17+17×16÷2+16×15÷2=817（种）.