求详细过程！平面空间向量 大题。

Question

tieba.baidu.com/p/1486763585

是个帖子而已，请点击，里面有两张图.....谢谢！

我原本是文科生，但有一些原因要考理科的东西....
回答完就270....！！

Answer 1

1、已知平面通过M1（8，-3，1），M2（4，7，2），且垂直于平面3x+5y-7z+27=0,
求这个平面方程。
解：平面经过M1点，设平面法向量n1=(A,B,C),
方程：A（x-8）+B(y+3)+C(z-1)=0,（1）
其中A、B、C不同时为0，
又经过M2，A（8-4）+B（-3-7）+C（1-2）=0，
4A-10B-C=0，（2），
要求平面与已知平面相垂直，则3A+5B-7C=0,(3),
联立（1）、（2）（3）式，看成三个未知数A、B、C的齐次方程组，而齐次方程组有非0解的充要条件是行列式：
| （x-8） (y+3) (z-1)|
| 4 -10 -1 | =0,
| 3 5 -7|
展开行列式得：75x+25y+50z-625=0,
即3x+y+2z-25=0,
∴平面方程为：3x+y+2z-25=0。
2、设直线l:(x-6)/2=(y+1)/(-1)=(z-2)/(-2),与平面π，2x-2y+z=4相交于点P，在平面π内过点P作直线l1⊥l,求点P坐标和直线l1方程。
解：设交点P坐标（x0,y0,z0）,P∈l,则(x0-6)/2=(y0+1)/(-1)=(z0-2)/(-2),
x0+2y0=4,（1）
2y0-z0=-4,（2）
P∈平面π，
2x0-2y0+z0=4，（3）
联立（1）、（2）（3）式，
x0=0,y0=2,z0=8,
P(0,2,8),
在直线l1是找一点Q（x1,y1,1）,
向量PQ=（x1,y1-2,-7）,是直线l1的方向向量，
PQ⊥l, l的方向向量=（2，-1，-2），
2(x1-0)+(-1)*(y1-2)+(-2)*(-7)=0,
2x1-y1=-16,(4)
Q∈平面π，2x1-2y1+1=4，
2x1-2y1=3,(5),
联立（4）、（5）式，
y1=-19,x1=-35/2,z1=1,
PQ=(-35/2,-21,-7),
直线l1方程：x/(-35/2)=(y-2)/(-21)=(z-8)/(-7).
经化简，x/5=(y-2)/6=(z-8)/2.
3、在空间直角坐标系中，给定两点A（0，1，0），B（1，0，1）和平面π：2x-3y+z+5=0,求经过A、B两点且与平面π垂直的平面方程。
和第一题相同类型，换一种方法做。
作AP⊥还将有π，垂足P，P（x0,y0,z0）,
向量AP=（x0,y0-1,z0）,AB=(1,-1,1)
则向量AP是平面π的一法向量，
∴x0/2=(y0-1)/(-3)=z0/1,
3x0+2y0=2,(1)
y0+3z0=1,(2)
∵P∈平面π，
∴2x0-3y0+z0+5=0,（3），
联立（1）、（2）、（3）式，
x0=-2/7,y0=10/7,z0=-1/7,
向量AP=（-2/7，3/7，-1/7）.
AB=(1,-1,1)
∵AP⊥平面π，
∴平面ABP⊥平面π，
设平面ABP法向量n,
向量n=AB×AP
| i j k|
n= | 1 -1 1|
| -2/7 3/7 -1/7|
=-2i/7-j/7+k/7,
n=(-2/7,-1/7,1/7),
∴平面方程为：（-2/7）（x-0）+(-1/7)*(y-1)+(1/7)*(z-0)+0,
即：2x+y-z-1=0.
4、在空间直角坐标系中，给定A（1，0，2）和 平面π：2x+y-z=3,过点A点作平面π垂线l,点B是垂足，求直线l的方程和B点坐标。
解：设B（x0,y0,z0）,A(1,0,2),
向量AB=（x0-1,y0,z0-2）,AB⊥平面π，
设平面π法向量n1=(2,1,-1),
AB//n1,
(x0-1)/2=y0/1=(z0-2)/(-1),
x0-2y0=1,（1）
y0+z0=2,（2）
∵ B∈平面π，
∴2x0+y0-z0=3，（3）
联立（1）、（2）、（3）式 ，
x0=2,y0=1/2,z0=3/2,
∴B（2，1/2，3/2），
向量AB=（1，1/2，-1/2），
则l方程为：(x-1)/1=(y-0)/(1/2)=(z-2)/(-1/2).
5、求过A（1，-4，3）且与下面两条直线：
2x-4y+z=1, x+3y=-5,
x=2+4t,y=-1-t, z=-3+2t
都垂直的直线方程。
设向量s1=(2,-4,1),s2=(1,3,0),
直线1方向向量n1=s1×s2
| i j k|
n1= |2 -4 1|
|1 3 0|
=-3i+j+10k,
n1=(-3,1,10),
直线2：x=2+4t,y=-1-t, z=-3+2t，
消去参数，(x-2)/4=(y+1)/(-1)=(z+3)/2,
直线2方向向量n2=(4,-1,2),
设所求直线方向向量n3,
n3=n1×n2
| i j k|
n3=|-3 1 10|
|4 -1 2|
=12i+46j-k,
n3=(12,46,-1),
所求直线方程为：(x-1)/12=(y+4)/46=(x-3)/（-1）.
6、讨论各组直线和平面关系：
⑴、（x+3）/(-2)=(y+4)/(-7)=z/3,和4x-2y-2z=3.
∵（-2）*4+（-7）*（-2）+3*（-2）=0，
直线的方向向量和平面的法向量垂直，
∴直丝和平面互相平行。
⑵、x/3=y/(-2)=z/(-7),和 3x-2y-7z=8,
∵3/3=(-2)/(-2)=(-7)/(-7)=1,
直线方向向量和平面法向量互相平行，，
∴直线和平面互相垂直。
⑶、(x-2)/3=(y+2)/1=(z-3)/(-4),和x+y+z=3,
∵3*1+1*1+(-4)*1=0,则直线方向向量和平面法向量互相垂直 ，
∴直线和平面互相平行。
7、求两直线x+y-z=1,2x+z=3,和 x=y=z-1间距离。
设向量s1=(1,1,-1),s2=(2,0,1),
直线l1方向向量n1=s1×s2,
| i j k|
n1= |1 1 -1|
|2 0 1|
=i-3j-2k,
n1=(1,-3,-2),在l1上取一点P（1，1，1），
直线l2:方向向量n2=(1,1,1),经过Q（0，0，1），
求出与二直线均垂直的法向量n3,
n3= n1×n2,
|i j k |
n3= |1 -3 -2|
|1 1 1|
=-i-3j+4k,
n3=(-1,-3,4),
经过P点的平面方程为：(-1)*(x-1)+(-3)*(y-1)+4*(z-1)=0,
x+3y-4z=0,
Q（0，0，1）点至以上平面距离就是二直线的最短距离，根据点面距离公式，
d=|0+3*0-4*1|/√（1^2+3^2+4^2）=4/√26=2√26/13。
8、求直线(x-12)/4=(y-9)/3=(z-1)/1与平面3x+5y-z-2=0的交点。
设交点P（x0,y0,z0）,
∵P∈直线l,
∴(x0-12)/4=(y0-9)/3=(z0-1)/1,
3x0-4y0=0,（1）
y0-3z0=6,（2）
∵P∈平面，
∴3x0+5y0-z0-2=0，（3）
联立（1）、（2）、（3）式，
x0=0,y0=0,z0=-2,
∴交点P（0，0，-2）。追问

对不起，我还漏发了一张图....实在抱歉！

请回答吧！！

Answer 2

1. M1M2 = (-4,10,1), 法向量 n = (-4,10,1) × (3,5,-7) = ﹣25 ( 3,1,2)
3(x-4) + (y-7) + 2(z-2) = 0 即 3x+y+2z-23 = 0
2. l: x=6+2t, y=-1-t, z=2-2t, 带入 2x-2y+z=4, 得 t = -3
交点 P(0,2,8)
s = (2,-1,-2) × (2,-1,1) = - (5,6,2)
x /5 = (y-2)/6 = (z-8)/2
3. 2x +y =z-1 = 0
4. (2, 1/2, 3/2)
5. s=(12,46,-1)
6, 平行，垂直，平行
7. 4/√26
8. (0,0,-2)追问

详细过程啊！！！

追答

3. AB=(1,-1,1), n=(1,-1,1) × (2,-3,1) = (2,1,-1)
2x +(y-1) -z = 0
4. l: x=1+2t, y=t, z=2-t 代入 2x+y-z=3 中，得： t = 1/2
B(2, 1/2, 3/2)
5. L1: x= -5-3y, y = y, z=1-2x+4y = 11+10y, 方向向量 S1 = (-3,1,10)
或者 S1 = (2，-4,1) × （1,3,0) = (-3,1,10)
L2 方向向量 S2 = (4,-1,2), 公垂线方向 S = S1 × S2 = (12,46,-1)
(x+1)/12 = (y+4)/46 = (z-3) / (-1)
6. (1) S=(-2,-7,3), n=(4,-2,-2), S•n = 0 => 平行
(2) S //n => 垂直
(3) S=(3,1,-4), n=(1,1,1), S•n = 0 => 平行
7. L1: x=x, y=1-x+z = 4-3x, z=3-2x 过点M1(0,4,3), 方向向量 S1 = (1,-3,-2)
或者 S1 = (1,1, -1) × (2,0,1) = (1, -3,-2)
L2 过点M2(0,0,1), 方向向量 S2 = (1,1,1)
公垂线方向 S = S1 × S2 = (-1,-3,-4)
M1M2 = (0,-4,-2) , 距离d = | M1M2 • S| / |S| = 4/√26
8. 直线 x=12+4t, y=9+3t, z=1+t 代入 3x+5y-z-2=0 中，得： t = -3
∴ 交点(0,0,-2)

追问

对不起，我还漏发了一张图....实在抱歉！

请回答吧！！

追答

9. 直线的方向向量 S = (3,0,-1) × (3,-2,0) = (-2,-3,-6)
平面法向量 n = (6,15,-10), sinφ = | S•n | / (|S| |n| ) = 3 / ( 7 √261)
10. 已知直线过点 M1(-1,3,0), 方向向量 S1=(3,1,2), MM1 = (0,3,-4),
过点M与已知直线的平面的法向量 n1= S1 × MM1 = (10,-12,-9)
已知平面的法向量 n2 = (3,-4,1)
所求直线的方向向量 S = n1 × n2 = ﹣(48,37,4)
∴ 所求直线方程 (x+1)/48 = y/37 = (z-4)/4
11. AB = (0,1,-3), AC = (1,-1,-1), 法向量 n = AB × AC = － (4,3,1)
4(x-1) +3y + z-2 = 0 即 4x + 3y + z -6 = 0
12. A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) , AC=(-a,0,c), BC=(0,-b,c)
abc = 54, ①
cos∠ACB = |AC•BC| / (|AC| |BC|) = c² / [√(a²+c²) √(b²+c²) ] = 1/3 ②
平面ABC的法向量 n1 = (bc,ac,ab), 平面AOC的法向量 n2 = (1,0,0),
平面BOC的法向量 n3 =(0,1,0) ,
两个二面角相等，即：n1与n2的夹角 = n1与n3的夹角
=> ...... => a = b 代入②，得：a² = 2c²
再代入①中，得： c = 3， a = b = 3√2
∴ 平面方程为 x /(3√2) + y /(3√2) + z/3 = 1

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Answer 3

设直线l:(x-6)/2=(y+1)/(-1)=(z-2)/(-2),与平面π，2x-2y+z=4相交于点P，在平面π内过点P作直线l1⊥l,求点P坐标和直线l1方程。
解：设交点P坐标（x0,y0,z0）,P∈l,则(x0-6)/2=(y0+1)/(-1)=(z0-2)/(-2),
x0+2y0=4,（1）
2y0-z0=-4,（2）
P∈平面π，
2x0-2y0+z0=4，（3）
联立（1）、（2）（3）式，
x0=0,y0=2,z0=8,
P(0,2,8),
在直线l1是找一点Q（x1

Answer 4

慢慢做，加油

Answer 5

这题也太多了点吧。。。。。。