继续求极限的过程

Question

我是在自学高数明年考本，最近在看极限，所以不是偷懒不做作业问答案那种哦，希望个位多多帮忙！！

x->0,lim ln(1+2x) / sin3x,答案是2/3
我一开始用上下求导变成1/（1+2x）/cos3x,算了结果是1，结果发现和书的答案不一样……奇怪，极限不是有种求法可以用求导来算吗？为什么这里不可以？是要什么条件才可以求导吗？或者我求导导错了？

n->无穷，lim {n[ln(n+2)-lnn]},答案等于2，求过程
lim{ln[(n+2)/n]^n}还是不懂这一步怎么变出来的……之前ln前面的n去哪了？-lnn又去哪了？^n是怎么加上去的？/n是怎么回事……

千万别嫌我麻烦，真的不懂这一步，解决了我会补分的！！

Answer 1

（1）这个是罗毕达法则。x->0时分子分母都趋向于0，所以可以适用这个法则。
但是你分子和分母的基本求导算错了，复合函数不是你这样求导的。
应该是[2/（1+2x）]/[3cos3x]=2/3

（2）lim{n[ln(n+2)-lnn]}=lim{ln[(n+2)/n]^n}
=lim{ln[(1+2/n)]^[(n/2)*2]}=ln{e^2}=2

第二题解法用到一个常用的极限式：x→∞时，(1+1/x)^x=e
其中x可以用其他趋向于零的代数式来替换。第二题的解法就是往这个式子上凑。
中间有一步求对数中[1+2/n]^n这个式子的极限，就是相当于令2/n = 1/x，指数上变成n=2x,所以就变成是[1+2/n]^n={[1+1/x]^x}^2
大括号里面不就是前面提到的常用的极限式嘛，所以就变成e^2了。

你需要了解一下对数的运算方法：
lna-lnb=ln(a/b)
alnb=ln(b^a)

Answer 2

1.求导方法似乎是要求上下要有共同单调性。好久以前学的，记不太清。你自己再去查查资料吧。这题应该可以。
只是你计算时没再对1+2x和3x再求导，加上去的话就等于答案了。
2.第二题应用一个公式：（1+(1/x)^n)^(1/n)的极限等于 e。化简原式子，我算过可以等于答案。

Answer 3

y=ln(1+2x)
yˊ=[1/(1+2x)]*(1+2x)ˊ=2/(1+2x)
同理(sin3x)ˊ=3cos3x

n->无穷，lim {n[ln(n+2)-lnn]},也可以用洛必达法则
lim {n[ln(n+2)-lnn]}=lim {[ln(n+2)-lnn]/n^(-1)}
=lim [1/(n+2)-1/n]/[-n^(-2)]
=lim 2n^2/[n(n+2)]
=2lim n/(n+2)
所以n->无穷，lim {n[ln(n+2)-lnn]}
=2

Answer 4

我也想考本，高数是不是很难啊？？我好久没有做数学了，觉得一下子去看有好多都不懂，就想在看天书一样