(a+b)n次方的展开式=C(n,0)a(n次方)+C(n,1)a(n-1次方)b(1次方)+…+C(n,r)a(n-r次方)b(r次方)+…+C(n,n)b(n次方)(n∈N*)
C(n,0)表示从n个中取0个。
这个公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a+b)n的二次展开式,其中的系数Cnr(r=0,1,……n)叫做二次项系数,式中的Cnran-rbr.叫做二项展开式的通项,用Tr+1表示,即通项为展开式的第r+1项:Tr+1=Cnraa-rbr。
扩展资料
用数学归纳法证明二项式定理:
证明:当n=1时,左边=(a+b)1=a+b
右边=C01a+C11b=a+b;左边=右边
假设当n=k时,等式成立,即(a+b)n=C0nan+C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn成立;
则当n=k+1时, (a+b)(n+1)=(a+b)n*(a+b)=[C0nan+C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*(a+b)
=[C0nan+C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*a+[C0nan+C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*b
=[C0na(n+1)+C1n anb十…十Crn a(n-r+1)br十…十Cnn abn]+[C0nanb+C1n a(n-1)b2十…十Crn a(n-r)b(r+1)十…十Cnn b(n+1)]
=C0na(n+1)+(C0n+C1n)anb十…十(C(r-1)n+Crn) a(n-r+1)br十…十(C(n-1)n+Cnn)abn+Cnn b(n+1)]
=C0(n+1)a(n+1)+C1(n+1)anb+C2(n+1)a(n-1)b2+…+Cr(n+1) a(n-r+1)br+…+C(n+1)(n+1) b(n+1)
∴当n=k+1时,等式也成立;
所以对于任意正整数,等式都成立。
二项展开式通项公式是用来展开二项式(a + b)的幂的公式。对于非负整数 n,二项展开式通项公式如下:
(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n, n) * a^0 * b^n
其中,C(n, k) 表示组合数,表示从 n 个元素中选择 k 个元素的组合数。其计算公式为:
C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
在这个展开式中,a 和 b 是常数,n 是非负整数,而 C(n, k) 是组合数,代表二项式展开中的系数。展开后的表达式包含了 n+1 个项,其中 a 的指数从 n 开始递减,b 的指数从 0 开始递增。
二项展开式通项公式是用来展开二项式(a + b)的幂的公式。对于非负整数 n,二项展开式通项公式如下:
(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n, n) * a^0 * b^n
其中,C(n, k) 表示组合数,表示从 n 个元素中选择 k 个元素的组合数。其计算公式为:
C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
在这个展开式中,a 和 b 是常数,n 是非负整数,而 C(n, k) 是组合数,代表二项式展开中的系数。展开后的表达式包含了 n+1 个项,其中 a 的指数从 n 开始递减,b 的指数从 0 开始递增。