如何用微分中值定理证明不等式？

Question

如题所述

Answer 1

要证明不等式（1+x）^n ≥ 1+nx，可以利用微分中值定理。
首先，我们定义一个函数f(x) = (1+x)^n - (1 + nx)。我们需要证明的是f(x) ≥ 0对于所有x > -1 和 n ≥ 1成立。
根据微分中值定理，如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且在区间(a, b)上可微分，那么在(a, b)上至少存在一个点c，使得f’© = (f(b) - f(a))/(b - a)。
我们选择一个合适的区间[a, b]，使得f(a) = f(-1) = 0，f(b) ≥ 0。
计算f’(x) = n(1+x)^(n-1) - n，由于(1+x)^(n-1) ≥ 1，因为x > -1且n ≥ 1。
所以f’(x) = n(1+x)^(n-1) - n ≥ 0，即f’(x) ≥ 0，说明f(x)在区间(a, b)上单调递增。
根据微分中值定理，存在一个点c，使得f’© = (f(b) - f(a))/(b - a)。由于f’(x) ≥ 0，所以(f(b) - f(a))/(b - a) ≥ 0，也就是f(b) - f(a) ≥ 0。
因为f(a) = 0，所以f(b) ≥ 0。即对于x > -1和n ≥ 1，有f(x) ≥ 0。
而f(x) = (1+x)^n - (1 + nx)，所以（1+x）^n ≥ 1+nx成立。证毕。
因此，根据微分中值定理，可以证明当x > -1且n ≥ 1时，（1+x）^n ≥ 1+nx。