泰勒公式为什么不能直接展开？

Question

如题所述

Answer 1

泰勒公式是用来近似表示一个函数在某个点附近的值的公式。它可以将一个函数表示为无限项的幂级数。
泰勒公式的展开有时可以直接进行，但在一般情况下，不能直接展开的原因如下：
1. 函数的光滑性：泰勒公式的展开要求函数在展开点的附近是光滑的，也就是说，在展开点的邻域内函数的各阶导数存在且连续。如果函数在展开点附近不光滑，展开公式就不适用。
2. 收敛性：泰勒公式的展开式是一个无限项的级数，需要保证级数收敛才能得到有效的近似。如果级数不收敛，展开公式就不能用来近似原函数。
3. 展开点的选择：泰勒公式的展开点的选择对展开的有效性有很大影响。如果选择的展开点与函数的特性不匹配，展开公式可能会给出较差的近似结果。
4. 计算复杂度：展开式中的每一项都需要计算函数在展开点的导数值，如果函数的导数计算困难或者导数的计算结果很复杂，展开公式的使用会变得不可行。
综上所述，泰勒公式不能直接展开的原因主要是函数的光滑性、展开点的选择、级数的收敛性以及计算复杂度的考虑。在实际应用中，我们需要根据具体情况来判断是否可以直接使用泰勒公式进行展开，并注意其适用范围和局限性。

Answer 2

楼上完全就是一知半解，不懂装懂。

首先泰勒公式可以局部使用。也就是当你想要展开的部分处于分子，并且有两个函数的和或者差的时候，这个时候是可以直接用的。就比如图中的情况。

其次，写不写佩亚诺余项不是主要问题。即使你不写，规范性上会有问题，但是并不会影响正确性。在解答题的时候是一定要写的，如果是填空和选择，只要自己不混，不写也没关系。

最后，这道题的问题在于，展开的次数不够。你再往后写一项，会发现还有一个三次项，你把三次项补进去，结果就对了。

由于等价代换只能用于乘除形式（其实加减在一定条件下也可以，但是为了不让你混淆，你就当作不可以）的代换，当面对和差形式时，最有力的工具就是佩亚诺余项的泰勒，也叫麦克劳林公式。

使用泰勒展开的要求就是需要展开到分母同次级，才不会出现像你所犯的错误，即答案有误差。


泰勒公式的本质其实就是用多项式函数（x的多少次这种形式）逼近原先复杂的公式。你可以理解为：只要写的项数足够多，那么就越逼近原先的函数。如果可以写无穷多项，那么这两个函数就是完全相等的。

为什么要这么做？因为多项式函数拥有许多优异的性质：容易求导、容易积分、容易判断奇偶等等。这样一来，对于复杂函数的处理都可以转换为多项式的处理，极其方便。所以这就是泰勒公式的伟大所在。