宁波市2008学年度第一学期期末试卷
高三数学(理科)
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．
考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如果复数 的实部和虚部相等，则实数 等于
（A） （B） （C） （D）
2．已知三个集合U，A，B及元素间的关系如图所示，则 =
（A）{5，6}
（B）{3，5，6}
（C）{3}
（D）{0，4，5，6，7，8}
3．如图是2009年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为
（A） ， （B） ，
（C） ， （D） ，
4．已知点 满足x+y≤6，y>0，x-2y≥0，则 的最大值为
（A） （B） （C）0 （D）不存在
5．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面 内，则“ ”是“ ”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
6．已知定义在R上的函数 f ( x) = (x2 – 3x + 2) g ( x ) + 3x – 4 , 其中函数 的图象
是一条连续曲线，则方程f ( x) = 0在下面哪个范围内必有实数根
（A）( 0, 1 ) （B） (1, 2 ) （C） ( 2 , 3 ) （D） (3, 4 )
7．已知 是双曲线的两个焦点， 是经过 且垂直于实轴的弦，若 是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为
（A） （B） （C） （D）
8．函数 的定义域为（a,b），其导函数 内的图象如图所示，则函数 在区间（a,b）内极小值点的个数是
（A）1 （B）2
（C）3 （D）4
9．由0，1，2，3，4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列 ,则 =
（A）2014 （B）2034 （C）1432 （D）1430
10．△ABC满足 ， ，设M是△ABC内的一点(不在边界上)，定义 ，其中 分别表示△MBC,△MCA,△MAB的面积，若 ，则 的最小值为
（A）8 （B）9 （C）16 （D）18
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.
11．满足 的 的个数为 ▲ .
12．已知
,点列 部分图象如图所示，则实数 的值为_____▲_______.
13．若命题“ x∈R, 使x2+ax+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围为 ▲ .
14．已知在平面直角坐标系中， ， （其中 为原点，实数 满足 ），若N（1，0），则 的最小值是____▲____.
15．如图，下列程序框图可以用来估计 的值（假设函数CONRND（-1，1）是产生随机数的函数，它能随机产生（-1，1）内的任何一个实数）．如果输入1000，输出的结果是786，则运用此方法估计 的近似值为 ▲ （保留四位有效数字）.
16．等差数列 中首项为 ，公差为 ，前 项和为 ．则下列命题中正确的
有 ▲ （填上所有正确命题的序号）.
①数列 为等比数列；
②若 ， ，则 ；
③ .
17．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2)行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第n行(n≥2)中第2个数是____▲____（用n表示）.
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（本题14分）设函数 ．
（1）求函数 的最小正周期 ，并求出函数 的单调递增区间；
（2）求在 内使 取到最大值的所有 的和.
19．（本题14分）在一个盒子中，放有标号分别为 ， ， 的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 、 ，记 ．
（1）求随机变量 的最大值，并求事件“ 取得最大值”的概率；
（2）求随机变量 的分布列和数学期望．
20．（本题15分）已知几何体A—BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
（1）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；
（2）求二面角A-ED-B的正弦值；
（3）求此几何体的体积V的大小.
21．（本题15分）如图，椭圆长轴端点为 ， 为椭圆中心， 为椭圆的右焦点,
且 ， ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记椭圆的上顶点为 ，直线 交椭圆于 两点，问：是否存在直线 ，使点 恰为 的垂心？若存在，求出直线 的方程;若不存在，请说明理由.
22．（本题14分）已知函数 和点 ，过点 作曲线 的两条切线 、 ，切点分别为 、 ．
（1）求证： 为关于 的方程 的两根；
（2）设 ，求函数 的表达式；
（3）在（2）的条件下，若在区间 内总存在 个实数 （可以相同），使得不等式 成立，求 的最大值．
2008学年度第一学期期末试卷
高三数学(理科)答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. B 2. A 3. C 4. A 5. A 6. B 7. B 8. A 9. A 10.D
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
11. 2 12. 13.
14. 15. 3.144 16. ①②③ 17.
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
18、（1） ……………………………………3分
故 ，……………………………………………………5分
单调递增区间为： …………7分
（2） 即 ，则
于是 …………………………………………10分
∵ ∴ ………………………………12分
∴在 内使 取到最大值的所有 的和为 . …………14分
19、（Ⅰ） 、 可能的取值为 、 、 ，
， ，
，且当 或 时， ． …………4分
因此，随机变量 的最大值为 ．
有放回抽两张卡片的所有情况有 种，
． …………………………………………7分
（Ⅱ） 的所有取值为 ．…………………………………8分
时，只有 这一种情况，
时，有 或 或 或 四种情况，
时，有 或 两种情况．
， ， ． …………11分
则随机变量 的分布列为：
………………………………………………………………12分
因此，数学期望 ．…………14分
20．（本题15分）证明：（1）取EC的中点是F，连结BF，
则BF//DE，∴∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．
在△BAF中，AB= ，BF=AF= ．∴ ．
∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为 ．………5分
（2）AC⊥平面BCE，过C作CG⊥DE交DE于G，连AG．
可得DE⊥平面ACG，从而AG⊥DE
∴∠AGC为二面角A-ED-B的平面角．
在△ACG中，∠ACG=90°，AC=4，CG=
∴ ．∴ ．
∴二面角A-ED-B的的正弦值为 ．…………………………10分
（3）
∴几何体的体积V为16．………………………………………15分
方法二：（坐标法）（1）以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．
则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2），E（0，0，4）
，∴
∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为 ．………5分
（2）平面BDE的一个法向量为 ，
设平面ADE的一个法向量为 ，
∴
从而 ,
令 ，则 ,
∴二面角A-ED-B的的正弦值为 ．…………………………10分
（3） ，∴几何体的体积V为16．……………15分
21解：（1）如图建系，设椭圆方程为 ,则
又∵ 即
∴
故椭圆方程为 …………6分
（2）假设存在直线 交椭圆于 两点，且 恰为 的垂心，则
设 ，∵ ，故 ， ……8分
于是设直线 为 ，由 得
…………………………………10分
∵ 又
得 即
由韦达定理得
解得 或 （舍） 经检验 符合条件………15分
22. （1）由题意可知：
∵ ， ……2分
∴切线 的方程为： ，
又 切线 过点 ， 有 ，
即 ， ①
同理，由切线 也过点 ，得 ．②
由①、②，可得 是方程 （ * ）的两根……5分
（2）由（ * ）知.
，
∴ ．……………………9分
（3）易知 在区间 上为增函数，
，
则 ．…11分
即 ，即 ，
所以 ，由于 为正整数，所以 .
又当 时，存在 ， 满足条件，所以 的最大值为 . ……………14分
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