如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的

Question

如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．连接OC交AE于点H。 （1）求证：GC⊥OC．（2）求证：AF=CF．（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3） .

试题分析：本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了圆周角定理、垂径定理和等腰三角形的判定．(1)连结OC，由C是劣弧AE的中点，由垂径定理得OC⊥AE，而CG∥AE，所以CG⊥OC，然后根据切线的判定定理即可求解；(2)连结AC、BC，根据圆周角定理得∠ACB=90°，∠B=∠1，而CD⊥AB，则∠CDB=90°，根据等角的余角相等得到∠B=∠2，所以∠1=∠2，于是得到AF=CF； (3)在Rt△ADF中，∠DAF=30°，FA=FC=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到DF=1，AD= ，再由AF∥CG，根据平行线分线段成比例得到DA：AG=DF：CF；然后把DF=1，AD= ，CF=2代入计算即可求解． 试题解析： （1）证明：如图，连结OC， ∵C是劣弧AE的中点， ∴OC⊥AE， ∵CG∥AE， ∴CG⊥OC， ∴CG是⊙O的切线； （2）证明：连结AC、BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠2+∠BCD=90°， 而CD⊥AB， ∴∠B+∠BCD=90°， ∴∠B=∠2， ∵AC弧=CE弧， ∴∠1=∠B， ∴∠1=∠2， ∴AF=CF； （3）解：在Rt△ADF中，∠DAF=30°，FA=FC=2， ∴DF= AF=1， ∴AD= DF= ， ∵AF∥CG， ∴DA：AG=DF：CF，即 ：AG=1：2， ∴AG= ．