等比数列求和公式怎么推导

Question

如题所述

Answer 1

首项a1,公比q 

a(n+1)=an*q=a1*q^(n )

Sn=a1+a2+..+an 

q*Sn=a2+a3+...+a(n+1) 

qSn-Sn=a(n+1)-a1 

S=a1(q^n-1)/(q-1)

1、等比数列的意义：一个数列，如果任意的后一项与前一项的比值是同一个常数，即：A(n+1)/A(n)=q (n∈N*)，这个数列叫等比数列，其中常数q 叫作公比。如：2、4、8、16......2^10　就是一个等比数列，其公比为2，可写为（A2）的平方=（A1）x（A3）。

2、求和公式

等比数列求和公式：Sn=n×a1 (q=1)

Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)=a1(q^n-1)/(q-1)

(q为公比，n为项数）

等比数列求和公式推导：

Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)

q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q=a2+a3+a4+...+a(n+1)

Sn-q*Sn=a1-a(n+1)

(1-q)Sn=a1-a1*q^n

Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q)

Sn=(a1-an*q)/(1-q)

Sn=a1(1-q^n)/(1-q)

3、数学：数学(mathematics)，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。借用《数学简史》的话，数学就是研究集合上各种结构(关系)的科学，可见，数学是一门抽象的学科，而严谨的过程是数学抽象的关键。数学在人类历史发展和社会生活中发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。

Answer 2

对于等比数列{an}，a1≠0，q≠0
Sn=a1+a1q+a1q²+...+a1qⁿ⁻¹
=a1(1+q+q²+...+qⁿ⁻¹)
(1+q+q²+...+qⁿ⁻²)+qⁿ⁻¹=1+q(1+q+...+qⁿ⁻²)
(1+q+q²+...+qⁿ⁻²)(q-1)=qⁿ⁻¹-1
1+q+q²+qⁿ⁻²=(qⁿ⁻¹-1)/(q-1)
1+q+q²+qⁿ⁻²+qⁿ⁻¹
=(qⁿ⁻¹-1)/(q-1) +qⁿ⁻¹
=[qⁿ⁻¹-1+(q-1)qⁿ⁻¹]/(q-1)
=(qⁿ⁻¹-1+qⁿ-qⁿ⁻¹)/(q-1)
=(qⁿ-1)/(q-1)
Sn=a1(1+q+q²+...+qⁿ⁻¹)=a1(qⁿ-1)/(q-1)本回答被网友采纳

Answer 3

q=1时Sn=na1;
q≠1时Sn=a1[1+q+q^2+……+q^(n-1)],①
qSn=a1[ q+q^2+……+q^(n-1)+q^n],②
①-②，得(1-q)Sn=a1(1-q^n),
∴Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q).