为什么单根时，特征向量就只有一个，怎么求出来的，还是定理？

Question

如题所述

Answer 1

对于n阶方阵A，特征多项式f（λ）=|λE-A|，计算行列式|λE-A|时，可以利用行列式的行变换性质将|λE-A|化为上三角形行列式。设方阵A的特征值为λ1，…，λn，则f（λ）=（λ-λ1）…（λ-λn）；而上三角形行列式的值等于主对角线元素之积，所以|λE-A|经一定的行变换后其主对角元素一定为（λ-λ1），…，（λ-λn）。

设λi为单根特征值，则将|λE-A|经行变换后，其主对角线元素只有一项（λ-λi）为0，其余元素均不为0。即方阵（λE-A）的秩为n-1，所以（λE-A）x=0的基础解系中含有一个线性无关的解向量，则λi对应的线性无关的特征向量只有一个。



作者：Terminator
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来源：知乎
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Answer 2

单根时，特征向量并不只有一个，kα（k为非零常数）都是特征向量，单根时线性无关的特征向量只有一个，即基础解系α

Answer 3

因为不同特征值对应的特征向量是线性无关的，所以一个特征向量不可能属于多个特征值。本回答被网友采纳

Answer 4

系数矩阵的秩为2，所以基础解系含3-2=1个向量