任何正多边形必有一个外接圆,这个圆的圆心叫做正多边形的中心。过正多边形的某一顶点A作直径,则有∠AOB=360°÷5=72°,所以,圆周角∠AFB=36°。我们可以通过几何法或三角函数法计算出sin36°值,再通过2倍角的关系计算出sin72°的值,进而通过△AOB面积=1/2OA×OB×sin72°求出了正五边面积的五分之一,那么整个面积也就出来了!
如果要用正五边形的边长 a 来表示面积,则比较容易了。在直角△ABF中,其面积=1/2AB×BF=1/2a×acot36°=1/2a²cot36°,∴S△ABO=1/4a²cot36°。
从而:正五边形的面积=5×1/4a²cot36°=5/4a²cot36°。