设x1,x2...xn iid,E(xn)=u,D(xn)

Question

如题所述

Answer 1

首先,由于这个随机变量的均值,方差均存在,由大数定律有：
E(Yn)=2/(n(n+1))Σi*E(Xi)=2 /(n(n+1))Σi*μ 因为Σi=n(n+1)/2
故E(Yn)= μ
VAR(Yn)=4/(n(n+1))^2Σi^2*VAR(Xi) 因为Σi^2=1/6*n(n+1)(2n+1)
故VAR(Yn)=(4n+2) /(3n^2+3n)*σ^2 可以看出lim(n->∞) VAR(Yn)=0
由均方差的公式有E(Yn-μ)^2=VAR(Yn)+(E(Yn)- μ)^2 （即D(Z)=EZ^2-(EZ)^2的变形）
而此题(E(Yn)- μ)^2=0 因为Yn上面已证是无偏估计
因此lim E(Yn-μ)^2=lim VAR(Yn)=0 (当n趋向于无穷大)
而lim E(Yn-μ)^2=0 表示Yn是二阶矩收敛于μ,或者在数学的泛函分析或测度论中称为平方收敛于μ,既然是平方收敛的话,可以推出Yn依测度收敛于μ,在测度论上正是依概率（测度）收敛于μ.
至于一般的概率论书上也有从lim E(Yn-μ)^2=0推出Yn依概率收敛于μ的定理,由于我只记得测度论的证法,在这里由于数学工具的限制就省略了.
这也说明Yn是μ的相合估计.