求平面几何中牛顿定理的证明，最好附图，谢谢

Question

如题所述

Answer 1

牛顿定理1

四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线。
这条直线叫做这个四边形的
牛顿线
。
四边形ABCD,AB∩CD=E,AC∩BD=F,BD中点M,AC中点L,EF中点N
　　
证明：
　　取BE中点P,BC中点R,PN∩CE=Q
　　R,L,Q共线
　　QL/LR=EA/AB
　　M,R,P共线
　　RM/MP=CD/DE
　　N,P,Q共线
　　PN/NQ=BF/FC
　　三式相乘得:
　　QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FC
　　由梅涅劳斯定理
　　QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1
　　由梅涅劳斯定理的逆定理知:L,M,N三点共线
　　证毕
　　故牛顿定理1成立

牛顿定理2
圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。

　　
证明：
　　设四边形ABCD是⊙I的外切四边形，E和F分别是它的对角线AC和BD的中点，连接EI只需证它过点F，即只需证△BEI与△DEI面积相等。
　　显然，S△BEI=S△BIC+S△CEI-S△BCE，而S△DEI=S△AIE+S△ADE-S△AID。
　　注意两个式子，由ABCD外切于⊙I，AB+CD=AD+BC，S△BIC+S△AID=1/2*S四边形ABCD，S△ADE+S△BCE=1/2*S△ACD+1/2*S△ABC=1/2*S四边形ABCD
　　即S△BIC+S△AID=S△ADE+S△BCE，移项得S△BIC-S△BCE=S△ADE-S△AID，由E是AC中点，S△CEI=S△AEI，故S△BIC+S△CEI-S△BCE=S△AIE+S△ADE-S△AID，即S△BEI=△DEI，而F是BD中点，由共边比例定理EI过点F即EF过点I，故结论成立。
　　证毕。