排列组合应用问题，题型繁多，解法独特，但经仔细分析研究，还是有一定规律可循。关键是掌握两个计数原理及排列组合的定义，了解一些基本题型及其解法，掌握基本的一些分析问题的方法。
一、基本题型及其解法
（1）纯排列问题
“从几个不同元素中取出m个元素的排列”是最简单的纯排列问题，但是它有三种题型变化，下面分别用例题予以说明。
例1 现有九位同学排成一行，试问：
①如果其中甲、乙两位同学必须排在两端，那么一共有多少种排法？
②如果甲不能排在最左端，乙不能排在最右端，那么一共有多少种排法？
本例是属于“某些元素‘在’或‘不在’某几个位置上”的一种排列题型。“在”，一般用直接法解，即先取出这几个元素并让它们落在指定的位置上，然后再考虑其它元素；“不在”，一般用间接法，转化为“在”来求解。
例2 现有五位男同学，四位女同学排成一行，试问：
① 如果男女同学各自排在一起，那么一共有多少种排法？
② 如果男女同学相间地排，那么一共有多少种排法？
本例是属于“某些元素‘相邻’或‘不相邻’的一种排列题型。“相邻”则将这要求“相邻”的m个元素捆绑起来看成一个整体（一个大元素）与另外（n-m）个元素进行全排列，再乘以这m个元素自身的全排列数即 种排法；“不相邻”，一般用插空法来解，即先将另外p(P≥m-1)个元素排好，留出（p+1）个空挡，再让这不能相邻的m个元素插进去，共有排法 （种）。
例3 现有五位男同学，四位女同学排成一行，试问：
① 如果其中甲、乙、丙三人次序一定，那么一共有多少种排法？
② 如果男同学次序一定，女同学次序也一定，那么一共有多少种排法？
本例是属于“某几个元素“次序一定”的一种排列题型。它的解法是先将n(n>m)个元素全排列有 种，就其中m个元素而言有 种排法，但由于要求这m个元素次序一定，因此只能取 中的某一种排法，故共有排法 / 种，即顺序固定问题用除法。
（2）纯组合问题
“从几个不同元素中取出m个元素的组合”是最简单的纯组合问题，但是它有两种题型变化，下面分别用例题予以说明。
例4 现从五位男同学，四位女同学中选出5名代表，试问其中：
① 男甲、女A都必须当选，有几种选法？
② 男甲必须当选，女A不能当选，有几种选法？
本例是属于“‘含有’或‘不含有’某些元素”的一种组合题型。“含”则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”则先将这些元素剔除，再从留下的元素中去取。
例5 现从五位男同学，四位女同学中选出5名代表，试问其中：
① 至少有一个女同学当选，有几种选法？
② 最多有三个女同学当选，有几种选法？
本例是属于“‘至少’或‘最多’含有几个元素”的一种组合题型。用分类法或排杂法解都可以，但是解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，要保证分类合理，排杂准确，谨防漏解与重复。
（3）排列组合混合题
这类问题有两群之间的排列题和分配（分组）问题两类题型。
例6 ①用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的五位数中，由两个偶数数字和三个奇数数字组成的有多少个？
②从n个不同元素里取出的m个元素的排列中，试问其中含有a1,a2,……，ap(n>m>p)这p个元素且这p个元素排在一起的排列有多少种？
本例是典型的“两群之间的排列问题”，它的解法是根据公式 得来的，即从n个元素中取出m个元素的排列，可以分成两步来完成：取出( )—排好（ ）。
例7 、6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？
① 平均分给甲、乙、丙三人。
② 甲得一本，乙得两本，丙得三本。
③ 一人得一本，一人得两本，一人得三本。
④ 平均分成三堆（组）。
⑤ 一堆一本，一堆两本，一堆三本。
本例的①、②、③是属于“分配问题”，它有两种情况：一种是平均分配或者按某一种确定的分配方案分配（如②），那么只要一个一个地按要求去取，然后再将这些组合数乘起来即得；另一种是分配方案不确定的（如③），那么还要乘以分配人数的全排列数。
本例的④、⑤是属于“分堆（组）”问题，它有两种情况：一是平均分组，如有kn不同元素平均分成k组，那么分法有 种。另一种不是平均分组，那么其解法与分配问题的前一种情况相同。
二、解排列组合应用问题的一些分析方法
对于解比较复杂的排列组合应用题，往往比较困难，会有无从下手的感觉。为了提高分析问题和解决问题的能力，这里根据问题的不同特点，介绍五种分析方法。
（一）特征分析法
例8 从1，2，3，……，100这一百个数中，任取两个不同的数相乘，其中积能被5整除的有多少个？能被5整除但不能被5n(n≥2,n∈N)整除的有多少个？
解：两数中只要有一个是5的倍数，那么它们的积就能被5整除，而1到100中共有20个5的倍数的数，故共有取法 种；能被5整除而不能被5n(n≥2,n∈N)整除，那就是说这20个5的倍数的数中，不能取两个相乘；同时还不能取这20个数中本已含有52因数的数25，50，75，100，因此符合题意的积共有 (种）
例9 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的五位数，试问其中能被3整除的有多少？
分析：能被3整除的数的特征是各位数字之和是3的倍数，由1+2+3+4+5+6+7=28，又组成的是五位数，因此应从28中减去两个数字使其差为3的倍数，再由大到小依次考虑，便得到下面四种情况：
解①28-1-2=24，由2，4，5，6，7五个数字，可组成 个五位数。
②28-1-6=21或28-2-5=21或28-3-4=21，一共可组成 个五位数。
③28-3-7=18或28-4-6=18可组成 个五位数。
④28-6-7=15可组成 个五位数。
根据分类计数原理：可得能被3整除的五位数共有 =840（个）。
上面两例是抓住了能被5整除与能被3整除的数的特征，再进行有条理有次序（特别是例2）的分析而得出解答的。因此在解应用题时，必须十分注意题意的内含特征以及解题的条理性。
（二）排阵分析法
例10 从1到9这九个自然数中，每次取出不同的两个分别作为对数的底数与真数，问一共可以得到多少个不同的对数值？
分析：由于底数不能取1，因此底数可以从2到9这八个数字中任取一个；真数可以从留下的八个数字中任取一个，故有 个对数。但本题是问“有几个不同的对数值？”，显然 是相同的，只能算一个。那么另外有没有相同的对数值呢？那就要费一番周折了，而且一个一个地找很容易造成遗漏，再考虑到底数取法只有八种情况，当取某一值为底时，真数依次排上的次序性很强（如 等等），而且在排时若遇相同的值立即舍去，“重复取”的情况也就避免了，因此还是直接排出要方便些，可靠些。分别以2，3，4，……，9为底直接排出，可得共有53个不同的对数值
例11 现在将准备从七个学校选出12人组成区篮球队，要求每校至少有一人参加，向各校分配到的队员人数，可能有几种不同情况？
解：由于每校至少要有一人参加，因此这一个名额不妨先分配下去，还余下五个名额，因为没有其他的分配要求，因此这5个名额分配时，可能有如下六种情况。
（注：记号“11111”表示将5个名额分成5个“1”，分配到七个学校中去，每校1人，其余类推）
①分成“11111”有 种分配法。
②分成“2111”有 种分配法。
③分成“221”有 种分配法。
④分成“311”有 种分配法。
⑤分成“23”有 种分配法。
⑥分成“41”有 种分配法。
⑦分成“5”有 种分配法。
因此共有 种分配法。
通过上述两例的分析，可以看出“排阵分析法”主要有三个优点：①解题方法直观，易被接受；②条理性强，便于思考分析；③取舍明确，可避免漏解或重复。
（三）元素、位置分析法
例12 3封不同的信，投入4个不同的信箱，共有多少种不同的投信方法？
解法一：元素分析法（以信为主）
第一封信有四种不同的投法，不论把它投入哪一个信箱里，第二封信还有四种投法，同理第三封信也有四种投法，根据分步计数原理，故共有投法4x4x4=64（种）
解法二：位置分析法（以信箱为主）
四个信箱中某一个信箱收到3封信的有 ；四个信箱中某一个信箱收到2封信的有 ；四个信箱中某三个信箱各收到1封信的，收信方法有 。因此收信方法 （种）
元素分析法（即以元素为主考虑各种可能性）与位置分析法（即以位置为主考虑多种可能性）是解排列组合应用题的两种常用方法，它的优点是研究对象清楚单一易于分析各种情况。
例13 三位教师分配到六个班里，各人数不同的班级，若每人都教两个班，有几种分配方法？
解法一（以教师为主）
这是一个分配问题，第一位教师可从六个班中选二个有 ，第二位教师可从四个班中选二个有 ，第三位教师教余下的二班有 ，因此共有 种不同的分法。
解法二（以班级为主）
将六个班分成三组，每组两个班，共有 分组法，再将每种方法中的三组分配给三位教师有 种，因此共有 种方法。
（四）图形分析法
例14 用0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，试问能组成多少个大于401325的自然数？
解：大于401325的数，必须是六位数；当最高位数字为5时，形如5xxxxx的数一定大于401325有 个；再看最高位是4时，形如下面的数也必须大于401325：
①41xxxx；42xxxx；43xxxx；45xxxx。共有 个。
②402xxx；403xxx;405xxx共有 个。
③4015xx共有 个。
④401352共有1个。
综上得大于401325的自然数共有 个。
例15 一直线和圆相离，这条直线上有六个点，圆上有四个点，通过其中任意两点作直线，试问：
①最多可作几条直线？②最少可作几条直线？
解：①显然除了A1、A2、A3,……A6 这六点共线外，其余无三点共线时，那以任取其中两点作直线必最多，共有 （条）
如图，由于B1,B2,B3,B4 在圆上，故四点
中任意三点均不共线，因此当过B1,B2,B3,B4
中任意两点的直线（共有 条）正好分
别通过A1、A2、A3,……A6 这六个点时，则直线条数最少，共有 （条）。（如图B2 B4 A1 三点，原来过其中任意两点可作三条直线，而现在只能作一条，减少了两条）
从上两例可以看出，有时结合图形来分析比较直观，易于发现规律。
（五）减元分析法
例16 我们把元素和它的排列完全相同的行列式看成是相同的，否则就是不同的，用三个“1”和六个“0”作三阶行列式，试问能作成多少个不同的行列式？
分析：本题情况比较复杂，因此不妨先减元来分析一下，如两个“1”与两个“0”，作成二阶行列式有：
在排的过程中发现，当两个“1”排好位置以后，那两个“0”只能进入留下的空挡，因此实际上只要排好两个“1”的位置即可，而四个空挡中排两个“1”的方法共有 种，这与实际排出也是一致的，由此减元分析可得原题三阶行列式的个数是 个。
例17 ①将四个“十”号，六个“一”号排成“一十一一十十一十一一”时，符号改变了几次？
②将八个“十”号，六个“一”号排成一列时使符号改变5次的排法共有多少种？
解：①从左往右依次点算，可得符号共改变了6次。
②通过对①的仔细观察分析可以发现：
（a）“十”号旁边排上一个或几个“一”号将使符号改变（“一”号旁边排上“十”号也同样）
（b）两个“十”号之间插入一个或几个“一”号，将使符号改变2次。
（c）最左端那一个“十”号的左边加上一个或几个“一”号，使符号改变一次（最右端那个“十”号的右边加上一个或几个“一”号也同样）
由上述三点发现，再考虑到符号改变5次的要求，我们不妨先让八个“十”号排成一列，留出首尾空位和中间七个空挡，只要在中间的七个空挡中取出两个，各插入一个或几个“一”号，使符号改变4次；再在首或尾空位中放上留下的一个或几个“一”号使符号改变1次，那么问题的要求就满足了。
具体计算过程从略，符号改变5次的排法，共有 （种）
减元分析法是用在一时看不出眉目，或无从下手的排列组合应用题。这时不妨先减元排出，然后仔细观察，分析归纳，找出解题规律。
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