幻方的填法

Question

偶数阶幻方的通用填法
注意，是偶数阶的

Answer 1

对平面幻方的构造，分为三种情况：N为奇数、N为4的倍数、N为其它偶数(4n+2的形式)
⑴ N 为奇数时，最简单
(1) 将1放在第一行中间一列;
(2) 从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放：
按 45°方向行走，如向右上
每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1
(3) 如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。
例如1在第1行，则2应放在最下一行，列数同样加1;
(4) 如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第1行第n列时，
则把下一个数放在上一个数的下面。
⑵ N为4的倍数时
采用对称元素交换法。
首先把数1到n×n按从上至下，从左到右顺序填入矩阵
然后将方阵的所有4×4子方阵中的两对角线上位置的数关于方阵中心作对
称交换，即a(i,j)与a(n-1-i,n-1-j)交换，所有其它位置上的数不变。
(或者将对角线不变，其它位置对称交换也可)
⑶ N 为其它偶数时
当n为非4倍数的偶数(即4n+2形)时：首先把大方阵分解为4个奇数(2m+1阶)子方阵。
按上述奇数阶幻方给分解的4个子方阵对应赋值
上左子阵最小(i)，下右子阵次小(i+v)，下左子阵最大(i+3v)，上右子阵次大(i+2v)
即4个子方阵对应元素相差v，其中v＝n*n/4
四个子矩阵由小到大排列方式为 ① ③
④ ②
然后作相应的元素交换：a(i,j)与a(i+u,j)在同一列做对应交换(j<t或j>n-t+2),
a(t-1,0)与a(t+u-1,0)；a(t-1,t-1)与a(t+u-1,t-1)两对元素交换
其中u=n/2，t=(n+2)/4 上述交换使每行每列与两对角线上元素之和相等。
C语言实现
#include"stdio.h"
#include"math.h"
int a[256][256];
int sum;
int check();
void ins(int n);
main()
{
int i,j,n,k,t,p,x;
scanf("%d",&n);
sum=(n*n+1)*n/2;
if(n%2==1)//奇数幻方
{
ins(n);
k=n;
}
if(n%4==2)//单偶数幻方
{
k=n/2;
ins(k);
for(i=0;i<k;i++)
for(j=0;j<k;j++)
{
a[j+k]=a[j]+2*k*k;
a[i+k][j]=a[j]+3*k*k;
a[i+k][j+k]=a[j]+k*k;
}
t=(n-2)/4;
for(i=0;i<k;i++)
for(j=0;j<k;j++)
{
if((j<t)&&(i<t))
{
p=a[j];a[j]=a[i+k][j];a[i+k][j]=p;
}
if((j<t)&&(i>k-t-1))
{
p=a[j];a[j]=a[i+k][j];a[i+k][j]=p;
}
if((i>=t&&i<=k-t-1)&&(j>=t&&j<t*2))
{
p=a[j];a[j]=a[i+k][j];a[i+k][j]=p;
}
if(j>1&&j<=t)
{
p=a[j+k];a[j+k]=a[i+k][j+k];a[i+k][j+k]=p;
}
}
}
if(n%4==0)//双偶数幻方
{
x=1;
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
a[j]=x++;
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
{
if(i%4==0&&abs(i-j)%4==0)
for(k=0;k<4;k++)
a[i+k][j+k]=n*n-a[i+k][j+k]+1;
else if(i%4==3&&(i+j)%4==3)
for(k=0;k<4;k++)
a[i-k][j+k]=n*n-a[i-k][j+k]+1;
}
}
if(check(n)==1)
{
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<n;j++)
printf("%5d",a[j]);
printf("\n");
}
return ;
}
}
int check(int n)//检验是否是幻方
{
int i,j,sum1=0,sum2;
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<n;j++)
sum1+=a[j];
if(sum1!=sum) return 0;
sum1=0;
}
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<n;j++)
sum1+=a[j];
if(sum1!=sum) return 0;
sum1=0;
}
for(sum1=0,sum2=0,i=0,j=0;i<n;i++,j++)
{
sum1+=a[j];
sum2+=a[n-j-1];
}
if(sum1!=sum) return 0;
if(sum2!=sum) return 0;
else return 1;
}
void ins(int n)//单偶数幻方的输入
{ int x,y,m;
x=0;y=n/2;
for(m=1;m<=n*n;m++)
{
a[x][y]=m;
if (m%n!=0)
{
x--;y++;
if(x<0) x=x+n;
if(y==n) y=n-y;
}
else
{
x++;
if(x==n) x=x-n;
}
}
}
奇阶幻方
当n为奇数时，我们称幻方为奇阶幻方。可以用Merzirac法与loubere法实现，根据我的研究，发现用国际象棋之马步也可构造出更为神奇的奇幻方，故命名为horse法。
偶阶幻方
当n为偶数时，我们称幻方为偶阶幻方。当n可以被4整除时，我们称该偶阶幻方为双偶幻方；当n不可被4整除时，我们称该偶阶幻方为单偶幻方。可用了Hire法、Strachey以及YinMagic将其实现，Strachey为单偶模型，我对双偶（4m阶）进行了重新修改，制作了另一个可行的数学模型，称之为Spring。YinMagic是我于2002年设计的模型，他可以生成任意的偶阶幻方。
在填幻方前我们做如下约定：如填定数字超出幻方格范围，则把幻方看成是可以无限伸展的图形，如下图：
Merzirac法生成奇阶幻方
在第一行居中的方格内放1，依次向左上方填入2、3、4…，如果左上方已有数字，则向下移一格继续填写。如下图用Merziral法生成的5阶幻方：
17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9
loubere法生成奇阶幻方
在居中的方格向上一格内放1，依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有数字，则向上移二格继续填写。如下图用Louberel法生成的7阶幻方：
30 39 48 1 10 19 28
38 47 7 9 18 27 29
46 6 8 17 26 35 37
5 14 16 25 34 36 45
13 15 24 33 42 44 4
21 23 32 41 43 3 12
22 31 40 49 2 11 20
horse法生成奇阶幻方
先在任意一格内放入1。向左走1步，并下走2步放入2(称为马步)，向左走1步，并下走2步放入3，依次类推放到n。在n的下方放入n+1（称为跳步），再按上述方法放置到2n，在2n的下边放入2n+1。如下图用Horse法生成的5阶幻方：
77 58 39 20 1 72 53 34 15
6 68 49 30 11 73 63 44 25
16 78 59 40 21 2 64 54 35
26 7 69 50 31 12 74 55 45
36 17 79 60 41 22 3 65 46
37 27 8 70 51 32 13 75 56
47 28 18 80 61 42 23 4 66
57 38 19 9 71 52 33 14 76
67 48 29 10 81 62 43 24 5
一般的，令矩阵[1,1]为向右走一步，向上走一步，[-1,0]为向左走一步。则马步可以表示为2X+Y，{X∈{[1,0], [-1,0]},Y∈{[0,1], [0,-1]}}∪{Y∈{[1,0], [-1,0]},X∈{[0,1], [0,-1]}}。对于2X+Y相应的跳步可以为2Y,-Y,X,-Y,X,3X,3X+3Y。上面的的是X型跳步。Horse法生成的幻方为魔鬼幻方。
Hire法生成偶阶幻方
将n阶幻方看作一个矩阵，记为A，其中的第i行j列方格内的数字记为a(i,j)。在A内两对角线上填写1、2、3、……、n，各行再填写1、2、3、……、n，使各行各列数字之和为n*(n+1)/2。填写方法为:第1行从n到1填写，从第2行到第n/2行按从1到进行填写(第2行第1列填n，第2行第n列填1)，从第n/2+1到第n行按n到1进行填写，对角线的方格内数字不变。如下所示为6阶填写方法：
1 5 4 3 2 6
6 2 3 4 5 1
1 2 3 4 5 6
6 5 3 4 2 1
6 2 4 3 5 1
1 5 4 3 2 6
如下所示为8阶填写方法（转置以后）：
1 8 1 1 8 8 8 1
7 2 2 2 7 7 2 7
6 3 3 3 6 3 6 6
5 4 4 4 4 5 5 5
4 5 5 5 5 4 4 4
3 6 6 6 3 6 3 3
2 7 7 7 2 2 7 2
8 1 8 8 1 1 1 8
将A上所有数字分别按如下算法计算，得到B，其中b(i,j)=n×（a(i,j)－1）。则AT＋B为目标幻方
（AT为A的转置矩阵）。如下图用Hire法生成的8阶幻方：
1 63 6 5 60 59 58 8
56 10 11 12 53 54 15 49
41 18 19 20 45 22 47 48
33 26 27 28 29 38 39 40
32 39 38 36 37 27 26 25
24 47 43 45 20 46 18 17
16 50 54 53 12 11 55 9
57 7 62 61 4 3 2 64
Strachey法生成单偶幻方
将n阶单偶幻方表示为4m+2阶幻方。将其等分为四分，成为如下图所示A、B、C、D四个2m+1阶奇数幻方。
A C
D B
A用1至2m+1填写成(2m+1)2阶幻方；B用(2m+1)2+1至2*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；C用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；D用3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；在A中间一行取m个小格，其中1格为该行居中1小格,另外m-1个小格任意,其他行左侧边缘取m列，将其与D相应方格内交换；B与C接近右侧m-1列相互交换。如下图用Strachey法生成的6阶幻方：
35 1 6 26 19 24
3 32 7 21 23 25
31 9 2 22 27 20
8 28 33 17 10 15
30 5 34 12 14 16
4 36 29 13 18 11
Spring法生成以偶幻方
将n阶双偶幻方表示为4m阶幻方。将n阶幻方看作一个矩阵，记为A，其中的第i行j列方格内的数字记为a(i,j)。

参考资料：http://baike.baidu.com/view/5058.html?wtp=tt

Answer 2

不同于奇数阶幻方， 偶数阶幻方是没有通用公式的。