数列极限的描述性定义:对于数列{yn}，设有常数A,如果当n无限增大时，yn无限接近于A(|yn-A|无限接近于0)，则称当n趋近于无穷大时{yn}以A为极限。yn→A(n→∞)。有极限的数列称为收敛数列，否则称数列发散。若数列{yn}以A为极限，亦称{yn}收敛于A。
数列的精确性定义:设有数列{yn}和实数A，如果对任意给定的正数ε，不论它多么小，总存在一个正整数N，当n>N时，丨yn一A丨<ε恒成立，则称当n趋于无穷时，数列{yn}以A为极限。记作yn→A(n→∞)。
前者通俗，直观，易为初学者所接受,但它比较粗糙，笼统，在理论上应用很不方便；后者十分严密，是进行理论证明的重要工具，但它相当抽象，不易为初学者所理解。因为这样，所以不少数学分析教材中，关于数列的极限,往往首先讲解描述性定义，以增强学生的感性认识；然后再引进精确定。
数列有界是数列收敛的必要条件，而不是充分条件。数列极限不等式:设有数列{xn}，{yn}，如果从某一项开始。
有xn≤yn，如果从某一项开始，有xn≤yn，且两数列极限分别为A,B.则A≤B。极限的基本性质:唯一性，局部有界性，局部保号性。极限的四则运算，注意“约去零因式法”。
求数列的极限主要有以下几种方法：
定义法
柯西准则
夹逼定理
斯托克斯定理
极点收敛法
圆幂定理
魏尔斯特拉斯判别法
狄利克雷判别法
阿贝尔判别法
这里我们以定义法为例进行介绍。
定义法求数列极限，需要满足四个步骤：
给定数列(0, 1, 0.5, 0.6666666666666666, 0.75, 0.8, Ellipsis)，观察其规律。
观察其趋势，发现当n趋近于无穷大时，数列的通项公式趋近于1。
通过数学归纳法证明，当n趋近于无穷大时，数列的通项公式小于等于1。
因此，数列的极限为1。
定义法需要观察数列的规律和趋势，并利用数学归纳法证明其正确性。因此，对于一些较为复杂的数列，需要一定的观察和推理能力才能得出其极限。
