正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵吗

Question

如题所述

Answer 1

正交矩阵是一种特殊的矩阵，它保持向量的长度和方向不变。在数学中，正交矩阵的逆矩阵是满足逆矩阵定义的矩阵，即乘以原矩阵的逆矩阵可以恢复原矩阵。因此，正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵。

首先，我们知道正交矩阵的定义是满足AA^T=I的矩阵，其中A^T是A的转置矩阵，I是单位矩阵。根据逆矩阵的定义，如果A是可逆矩阵，那么A的逆矩阵存在且唯一，记为A^(-1)。

其次，由于正交矩阵的逆矩阵存在且唯一，我们可以计算正交矩阵的逆矩阵。对于正交矩阵A，其逆矩阵A^(-1)满足AA^(-1) = I。这意味着A^(-1)乘以A可以得到单位矩阵I，因此A^(-1)也是正交矩阵。

最后，我们可以通过一些具体的例子来验证这个结论。例如，对于正交矩阵A=[cosθ -sinθ; sinθ cosθ]，其逆矩阵为A^(-1)=[cosθ sinθ; -sinθ cosθ]。可以看出，A^(-1)也是正交矩阵。

综上所述，正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵。