那位能详细解释下数学中子列的：非平凡子列， 平凡子列问题。

Question

那位能详细解释下数学中子列的：非平凡子列， 平凡子列问题。

Answer 1

二 数列的子列
1、引言
极限是个有效的分析工具.但当数列 的极限不存在时，这个工具随之失效.这能说明什么呢？难道 没有一点规律吗？当然不是！ 出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究.那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”.
2、 子列的定义
定义1 设 为数列， 为正整数集 的无限子集，且 ，则数列

称为数列 的一个子列，简记为 .
注1 由定义可见， 的子列 的各项都来自 且保持这些项在 中的的先后次序.简单地讲，从 中取出无限多项，按照其在 中的顺序排成一个数列，就是 的一个子列（或子列就是从 中顺次取出无穷多项组成的数列）.
注2 子列 中的 表示 是 中的第 项， 表示 是 中的第k项，即 中的第k项就是 中的第 项，故总有 . 特别地，若 ，则 ，即 .
注3 数列 本身以及 去掉有限项以后得到的子列，称为 的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为 的非平凡子列.
如 都是 的非平凡子列.由上节例知：数列 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限.
那么数列 的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果：
定理2.8 数列 收敛的充要条件是： 的任何非平凡子列都收敛．
证明： 必要性 设 是 的任一子列．任给 ，存在正数N，使得当 时有 由于 故当 时有 ，从而也有 ，这就证明了 收敛（且与 有相同的极限）．
充分性 考虑 的非平凡子列 ， 与 ．按假设，它们都收敛．由于 既是 ，又是 的子列，故由刚才证明的必要性，
（9）
又 既是 又是 的子列，同样可得
（10）
（9）式与（10）式给出
．
所以由课本例7可知 收敛．
由定理2．8的证明可见，若数列 的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列与 必收敛于同一个极限．于是，若数列 有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列 一定发散．例如数列 其偶数项组成的子列 收敛于1，而奇数项组成的子列 收敛于 ，从而 发散．再如数列 ，它的奇数项组成的子列 即为 ，由于这个子列发散，故数列 发散．由此可见，定理2．8是判断数列发散的有力工具．

Answer 2

1、引言
极限是个有效的分析工具.但当数列 的极限不存在时，这个工具随之失效.这能说明什么呢？难道 没有一点规律吗？当然不是！ 出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究.那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”.
2、 子列的定义
定义1 设 为数列， 为正整数集 的无限子集，且 ，则数列

称为数列 的一个子列，简记为 .
注1 由定义可见， 的子列 的各项都来自 且保持这些项在 中的的先后次序.简单地讲，从 中取出无限多项，按照其在 中的顺序排成一个数列，就是 的一个子列（或子列就是从 中顺次取出无穷多项组成的数列）.
注2 子列 中的 表示 是 中的第 项， 表示 是 中的第k项，即 中的第k项就是 中的第 项，故总有 . 特别地，若 ，则 ，即 .
注3 数列 本身以及 去掉有限项以后得到的子列，称为 的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为 的非平凡子列.
如 都是 的非平凡子列.由上节例知：数列 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限.本回答被提问者采纳