第1个回答 2019-05-20
证明(一)
令T=a^3+b^3+c^3-a*(b-c)^2-b*(c-a)^2-c*(a-b)^2-4abc.
T式展开整理等价于:
T=a^3+b^3+c^3-a^2*(b+c)-b^2*(c+a)-c^2*(a+b)+2abc.
T式分解整理等价于:
T=-(b+c-a)*(c+a-b)*(a+b-c).
a,b,c是三角形的三条边,显然b+c-a>0,c+a-b>0,a+b-c>0,故T<0。
证明(二)
令T=a^3+b^3+c^3-a*(b-c)^2-b*(c-a)^2-c*(a-b)^2-4abc.
设x,y,z为正实数,记a=y+z,b=z+x,c=x+y,将其代入T式:
T=(y+z)^3+(z+x)^3+(x+y)^3-(y+z)*(y-z)^2-(z+x)*(z-x)^2-(x+y)*(x-y)^2-4*(y+z)*(z+x)*(x+y)
T式展开整理得:
T=-8xyz<0。
证明(三)令T=a^3+b^3+c^3-a*(b-c)^2-b*(c-a)^2-c*(a-b)^2-4abc.
T式展开整理等价于:
T=a^3+b^3+c^3-a^2*(b+c)-b^2*(c+a)-c^2*(a+b)+2abc.
记s,R,r分别是三角形的半周长,外接圆与内切圆半径,据三角形巳知恒等式:
a^3+b^3+c^3=2s*(s^2-6Rr-3r^2);
a^2*(b+c)+b^2*(c+a)+c^2*(a+b)=2s*(s^2-2Rr+r^2);
abc=4sRr
将其代入T式,整理得:
T=-8s*r^2<0。
第2个回答 2009-02-22
1.便士厚 1.55mm
5分 1.95mm
1角 1.35mm
2角5 1.75mm
有一摞硬币共厚
问共有多少硬币?
解:
1.55a+1.95b+1.35c+1.75d=14
a,b,c,d为整数
求解:
假设单种硬币是所需的最大个数:
便士厚 1.55mm 9个 2
5分 1.95mm 7个 4
1角 1.35mm 10个 1
2角5 1.75mm 8个 1
a+b+c+d 为偶数!
由上可知 a+b+c+d介于7到10之间 那么a+b+c+d=8
第3个回答 2009-02-20
初二奥数题:一共有20道奥数题,让甲乙两人做,做对一道加一个两位数的分数,做错一道扣另一个两 位数的分数,甲最后得分为328分,乙最后得分为27分,求做对一题加多少分?
解:做对一题加a分,做错一题减b分,甲作对n题,乙做对m题
a*n-b*(20-n)=328
a*m-b*(20-m)=27
(a+b)*n-20b=328
(a+b)*m-20b=27
(a+b)*(n-m)=301
301=7*43
a+b=43
n-m=7
b=(43m-27)/20
m=9
n=16
b=18
a=25
做对一题加25分
第4个回答 2020-03-18
ax^2=49-by^2,
by^2=49-ax^2
=>ax^3=49x-bxy^2,
by^3=49y-ax^2y
相加得
ax^3+by^3=49(x+y)-xy(ax+by)=133
=>49(x+y)-7xy=133
7(x+y)-xy=19
(1)
同理
ax^3=133-by^3,by^3=133-ax^3
=>ax^4=133x-bxy^3,by^4=133y-ax^3y
相加得
406=ax^4+by^4=133(x+y)-xy(ax^2+by^2)
=>133(x+y)-49xy=406
19(x+y)-7xy=58
(2)
由(1)(2)联立,设x+y=M,xy=N
得
7M-N=19
19M-7N=58,解得
M=2.5,N=-1.5
=>
x+y=2.5,xy=-1.5
ax=7-by,by=7-ax
=>ax2=7x-bxy,by2=7y-axy
相加得49=ax2+by2=7(x+y)-xy(a+b)
=>
1.5(a+b)=49-7×2.5
=>
a+b=21
所以,原式=2005*2.5+6*(-1.5)-17/2*21=4825