在线性代数中，正交变换是线性变换的一种，它从实内积空间V映射到V自身，且保证变换前后内积不变。
1、σ是正交变换。
2、σ保持向量长度不变，即对于任意α∈V，丨σ(α)丨=丨α丨。
3、如果ε_1，ε_2，...，ε_n是标准正交基，那么σ(ε_1),σ(ε_2)，...，σ(ε_n)也是标准正交基。
4、σ在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。
分类
设A是n维欧氏空间V的一个正交变换σ在一组标准正交基下的矩阵。
若丨A丨=1，则称σ为第一类正交变换，包括空间内的平移、旋转以及二者的复合。
若丨A丨=-1，则称σ为第二类正交变换，包括空间内的反射以及反射变换与第一类正交变换的复合。
第一类正交变换不改变直角坐标系的定向，即左（右）手系变换后仍是左（右）手系。
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第1个回答 2020-11-20
因为向量的模长与夹角都是用内积定义的，所以正交变换前后一对向量各自的模长和它们的夹角都不变。特别地，标准正交基经正交变换后仍为标准正交基。在有限维空间中，正交变换在标准正交基下的矩阵表示为正交矩阵，其所有行和所有列也都各自构成V的一组标准正交基。
因为正交矩阵的行列式只可能为+1或−1，故正交变换的行列式为+1或−1。行列式为+1和−1的正交变换分别称为第一类的（对应旋转变换）和第二类的（对应瑕旋转变换）。可见，欧几里得空间中的正交变换只包含旋转、反射及它们的组合。
扩展资料：
正交变换的性质
1、正交变换T不会改变向量间的正交性，如果U和V正交，则T(u)和T（v）亦为正交。如果A和B皆为正交矩阵，则AB亦为正交矩阵。
2、如果A为正交矩阵，A的反矩阵A-1亦为正交矩阵。正交变换容易做反运算。对于正交变换T，如果U和V可以做内积，T(u)和T（v）做内积之值等于u和v做内积之值。
参考资料来源：百度百科-正交变换
第2个回答 推荐于2017-12-16
正交变换就相当于图形的旋转啊，平移啊这些的。正交可以保证向量的长度和两个向量之间的角度不变。本回答被提问者采纳
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