已知点A(-4,1)B(-1,5)，在直线L:2x-y-5=0上求一点P，使|PA|+|PB|最小，

Question

如题所述

Answer 1

解答
过A点作直线L的垂线，垂足为C点，
并延长AC到D点，使DC=AC，
则D点就是A点关于直线L的对称点，
L直线的解析式变形得：y=2x－5
∵AC⊥L
∴直线AC的解析式可以设为：
y=－½x＋b
将A点坐标代人解析式得：
1=－½×﹙－4﹚＋b
∴b=－1
∴AC直线方程为：
y=－½x－1
∴由L直线方程与AC直线方程可以求得C点坐标为C﹙8／3，1／3﹚
设D点坐标为D﹙m，n﹚
∴由中点公式得：
①、﹙－4＋m﹚／2=8／3
②、﹙1＋n﹚／2=1／3
解得：m=28／3，n=－1／3，
∴D点坐标为D﹙28／3，－1／3﹚
连接BD，则BD与直线L相交的交点就是P点，
这时候的P点使|PA|＋|PB|的值最小。
由B、D两点坐标可以求得BD直线方程为：
y=﹙－16／31﹚x＋139／31
然后由BD直线方程与直线L方程可以求得P点坐标为P﹙147／39，33／13﹚
是不是你的数字有问题？这个答案太繁了。
但方法正确。请你检查一下。

Answer 2

点P（x，2x-5）

|PA|=√((x+4)^2+(2x-6)^2)

|PB|=√((x+1)^2+(2x-10)^2)

|PA|+|PB|=√((x+4)^2+(2x-6)^2)+√((x+1)^2+(2x-10)^2)

导数=0 时 x=2.784

点A(-4,1)B(-1,5)的中点（-2.5，3）

斜率为 (5-1)/(4-1)=4/3
正交线斜率为 -3/4
方程 y-3=-3/4(x+2.5)

直线L:2x-y-5=0

的交点 x=49/22=2.227
y=-6/11

Answer 3

把x=-4代入L:2x-y-5=0得y=-13<1,
把x=-1代入L:2x-y-5=0得y=-7<5
说明点A和点B在直线L的上方，即同侧
先求点A关于直线L的对称点A'(X,Y)
则AA'的中点在直线L上，2（-4+X)/2 -(1+Y)/2-5=0 (1)
AA'垂直于直线L：（Y-1)/(X+4)=-1/2 (2)
因此X=7.2，Y=-4.6
因此点P为（7.2，-4.6）