已知矩阵A，求A的n次方，又多少种解法？

Question

如题所述

Answer 1

思路1：
若r(A)=1则A能分解为一行与一列的两个矩阵的乘积，用结合律就可以很方便的求出A^n

思路2：
若A能分解成2个矩阵的和A = B + C而且BC = CB则A^n = (B+C)^n可用二项式定理展开，当然B，C之中有一个的方密要尽快为0

思路3：
当A有n个线性无关的特征向量时，可用相似对角化来求A^n

思路4：
通过试算A^2 A^3，如有某种规律可用数学归纳法

哥专业不？追问

后面的没问题，第一个有点蒙，求详解！

追答

下面的T表示矩阵转置
a = (1, 2, 3)T
b = (1, 1/2, 0)T
A = a(b)T
A^3 = (abT)(abT)(abT) = a(bTa)(bTa)bT = 4abT=4A
=[4, 2, 0]
[8, 4, 0]
[12, 6, 0]