流体静力学的内容

Question

每边长为a=1m的立方体，上半部分的相对密度是0.6，下半部分的相对密度是1.4，平衡于不相混的液体中，上层液体相对密度是0.9，下层液体相对密度是1.3.求立方体地面在两种液体交界面下的深度x

Answer 1

假设物体按如图静止。浮力
F = 下层液体压力 - 上层液体压力 (可以设定一个0压强点，然后根据 压强=密度*g*深度 来算)
但是这题中可以应用高斯定理做一个面积分到体积分的转换（可以参见任意一本高等数学教材）；简化后就是我们常说的 浮力 = 密度*g*排开的液体体积
只不过这里稍微不同的是排开的液体有两种，因此

F = 0.9*g*a*a*(a-x)+1.3*a*a*x

物体受重力 (由于正好两种材料体积各占一半，可以用平均密度的观点来计算)
G = 密度1*g*体积1 + 密度2*g*体积2 = （1.4+0.6）/2*g*a*a*a=g*a*a*a
F=G
0.9*g*a*a*(a-x)+1.3*a*a*x=g*a*a*a
x = a/4 =0.25m本回答被提问者采纳

Answer 2

解：设自由面到分界面距离为H。

受力分析：立方体上表面受竖直向下的压力，P1×a×a，P1=0.9g[H-(a-x)]

                 立方体下表面受竖直向上的压力，P2×a×a，P2=0.9gH+1.3gx

                 立方体质量=密度乘体积=0.6×a*a*a/2+1.4*a*a*a/2=a^3 

  所受重力mg=a^3*g  竖直向下

受力平衡：P1*a^2+mg=P2*a^2

解得x=a/4