离散数学一些问题 求高手回答！

Question

1．设集合A={00,01,10,11}是长度为2的二进制串的集合。以下问题都是关于集合A×A：
a)有多少元素属于A×A？
b)A×A里有多少关系？
c)从A×A里给出一个对称关系的实例。
d)从A×A里给出一个偏序关系的实例。
e)如果存在，给一个关系实例，它是单射但不是满射。如果不存在，就说明为什么？
f)如果存在，给一个关系实例，它是双射而不是恒等函数。如果不存在就说明为什么？
2．令f(x)=ax+b, g(x)=cx+d.其中的常数a,b,c,d需要满足怎样的关系式使得f°g=g°f?
3．令A1,A2和B是来自于一个全集U的集合，证明(A1ÇA2)-B=(A1-B)Ç(A2-B)
4．一个政府委员会成员来自三个政党。证明每一个可能的委员会的三个成员来自同一政党或至少有一名成员来自三个政党之一。

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Answer 1

郭敦顒回答：
1，a)有多少元素属于A×A？
A={00,01,10,11}={0，1，2，3}
∴A×A={0，1，2，3}×{0，1，2，3}={0，1，2，3，4，6，9}
∴有4个元素属于A×A。
b)A×A里有多少关系？
有交换律和结合律的关系。
c)从A×A里给出一个对称关系的实例。
2与4对称于3。
d)从A×A里给出一个偏序关系的实例。
A×A={0，9，1，6，2，4，3}
e)如果存在，给一个关系实例，它是单射但不是满射。如果不存在，就说明为什么？
A={00,01,10,11}，A×A={0，1，2，3，4，6，9}
F：10→2=f、（10）
f)如果存在，给一个关系实例，它是双射而不是恒等函数。如果不存在就说明为什么？
不存在。∵A⊂A×A。
2当a =c且b=d时，使得二元运算满足交换律f°g=g°f
3，令A1,A2和B是来自于一个全集U的集合，证明(A1ÇA2)-B=(A1-B)Ç(A2-B)
第一次见到符号“Ç”，在(A1ÇA2)中Ç是A2对A1的补集。
∵A1⊃A2，且A1=A2+Ç=Ç+A2，表示为(A1ÇA2)，
∴A1－B=A2+Ç－B，表示为(A1ÇA2)－B，
∴A1－B=A2+Ç－B=Ç+（A2－B），表示为(A1－B)Ç(A2-B)
∴(A1ÇA2)－B=(A1－B)Ç(A2-B)
（从补集的运算来理解这题，只是运算形式的不同而已）
4，一个政府委员会成员来自三个政党A、B、C，每一个可能的委员会甲的三个成员a、b、c，则
（a，b，c）∈A∪B∪C
如果（a，b，c）∉A∪B，则
（a，b，c）∈（B∪C∨A∪C∨A∨B∨C）；
如果（a，b，c）∉B∪C，则
（a，b，c）∈（A∪B∨B∪C∨A∨B∨C）；
如果（a，b，c）∉A∪C，则
（a，b，c）∈（B∪C∨A∪B∨A∨B∨C）；
如果（a，b，c）∉A，则
（a，b，c）∈（B∪C∨B∨C）；
如果（a，b，c）∉B，则
（a，b，c）∈（A∪C∨A∨C）；
如果（a，b，c）∉C，则
（a，b，c）∈（A∪B∨A∨B），
所以，总是每一个可能的委员会的三个成员来自同一政党或至少有一名成员来自三个政党之一。