如何用极值计算椭圆5x^2+4xy+2y^2=1的半长轴

Question

如题所述

Answer 1

这个计算量实在太大了，只能给个思路了，椭圆上任意两个间的距离，其中长轴两端点的距离最大，由此转化为极值问题，也就是求f(x1,x2,y1,y2)=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2的最大值，设拉格朗日函数F=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2+λ(5x1^2+4x1y1+2y1^2-1)+μ(5x2^2+4x2y2+2y2^2-1)，对各变量求偏导，求出x1x2y1y2，代人f计算即可。追问

那如果是计算半短轴呢？？

追答

刚才那个解出来肯定有两组值的，根据实际意义检验一下即可，最大的是长轴，最小的是短轴。

Answer 2

通过观察可以发现(x,y)(-x,-y)都在椭圆上，说明椭圆是关于原点对称的。所以我们要求的只是x^2+y^2的极值。然后用拉格朗日乘数法就可以很容易求出。

Answer 3