1．代数基本定理
高斯在数学研究中有许多重大建树，第一个重大建树出现在他1799年发表的博士论文中。在这篇论文中，他第一次严格证明了“代数的基本定理”（Fundamental theorem of algebra）：即任何一元n次方程式，至少有一个根。如果这个根是a，用（x-a）去除方程式，就得到一个（n-1）次方程式，而这个（n-1）次方程式，也至少会有一个根。这样推下去，就证明一元几次方程式就一定会有几个根，在这里 n 是个正整数。为了求出这个基本代数定理的第一个证明，高斯还承认了负数的概念，巩固了负数的地位，并于1831年建立了负数代数学。
这是一项了不起的证明，因为人们虽然在很早的时候就知道怎样求一元一次方程式的根，并于1500年前后又陆续找到了求一元二次﹑三次和四次方程根的公式，但从那以后的三百年内，谁也没能求出一元五次方程的根来。多次方程有没有根？这确实是代数学中的一个基本重大的问题。高斯证明的这条代数基本定理，明确地告诉我们不管什么样的代数方程式都有根。从而给决心求出任何方程根来的人们，树立了坚定的信念；而高斯探讨代数基本定理的方法，也开创了探讨代数学中整个存在性问题的新途径，为数学的发展开辟了更广阔的前景。
2．发展数论
高斯的第二大建树，是他在1801年21岁时，自费出版了《算学研究》（Disquisitiones Arithmeticae）一书，开创近代数学中数论研究的新纪元。这书可说是数论第一本有系统的著作，高斯第一次介绍“同余”(Congruent)这个概念。此外还有数论上很重要的“二次互逆定理”（Law of Quadratic reciprocity）──高斯称为“ 数论的酵母”；这定理是在描述一对素数的美丽关系，高斯在十八岁时重新发现这个关系，并给了第一个证明，他认为这是数论的“宝石”，所以他一生给出五个不同证明。
3．非欧几何学的创立
非欧几何学，就是不同于欧几里德几何学的几何学。非欧几何的创作，是对《几何原本》里的“第五公设”产生质疑；“第五公设”是这样的：“若两条直线与第三条直线相交，且两个同侧内角之和小于两直角，则把这两条直线无限延长时，它们一定在那两直角一侧相交。”为了证明这一公设，在《几何原本》问世后的二千多年间，人们一直在两条道路上进行探索。一条是企图用更为不证自明的命题来代替它，另一条是企图用《几何原本》中的其它四个公设和五个公理推导出它来。如果做到了这两点中的一点，第五公设就将无可怀疑地成为一条定理，但是却毫无结果。因此，非欧几何认为平行公设是一个独立的断言，所以可能采用一个完全相反的公设而发展一种全新的几何。
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