椭圆的右焦点为f，过f的直线交椭圆于点a，b，椭圆的右准线为l，求1/fa+1/fb的值

Question

如题所述

Answer 1

设A,B到准线的距离分别为d1和d2，则由圆锥曲线的统一定义得：
FA/d1=e，FB/d2=e，所以FA=d1*e,FB=d2*e，
如果是解答题，则讨论直线ab的斜率:
(1)如果斜率不存在，则直线AB方程为x=c，
所以d1=d2=a^2/c-c=b^2/c，
所以FA=FB=d1*e=d2*e=b^2/a，
所以1/FA+1/FB=2a/b^2，其中a,b,c分别是椭圆的半长轴,半短轴,半焦距。
(2)如果斜率存在，则设直线AB方程为y=k(x-c)，
代入椭圆标准方程，求出x1+x2和x1*x2，
此时d1=a^2/c-x1，d2=a^2/c-x2，FA=d1*e=a-e*x1，FB=a-e*x2
1/FA+1/FB=1/(a-e*x1)+1/(a-e*x2)=[2a-e(x1+x2)]/[(a-e*x1(a-e*x2)]，
把前面的x1+x2和x1*x2代入上式化简可得最后结果。（应该还是2a/b^2）