有关三角函数N次方角的问题

Question

cos（α）^n的结果的常数部分？

Answer 1

当n为奇数时
(cos x)n =a1cosx+a3cos3x+a5cos5x+....+an cos(nx)
当n为偶数时
(cos x)n=a0+a2cos2x+a4cos4x+a6cos6x+...+an cos(nx)
例子，取n=10
则(cosx)10=a0+a2cos2x+a4cos4x+a6cos6x+a8cos8x+a10cos10x
换元法，用π/2 +x代替x代入上式得
(sinx)10=a0-a2cos2x+a4cos4x-a6cos6x+a8xos8x-a10cos10x
两式相加得
(cosx)10+(sinx)10=2（a0+a4cos4x+a8cos8x）
换元法，用π/4+x代替x代入上式得
(cosπ/4+x)10+(sinπ/4+x)10=2（a0-a4cos4x+a8cos8x）
两式相加得
(cosx)10+(sinx)10+(cosπ/4+x)10+(sinπ/4+x)10=4（a0+a8cos8x）
用π/8+x代替x代入上式得
(cosπ/8+x)10+(sinπ/8+x)10+(cos3π/8+x)10+(sin3π/8+x)10=4(a0-a8cos8x)
两式相加得
(cosx)10+(sinx)10+(cosπ/8+x)10+(sinπ/8+x)10+(cosπ/4+x)10+(sinπ/4+x)10+(cos3π/8+x)10+(sin3π/8+x)10=8a0