已知以F为焦点的抛物线y^2=4x上的两个点A,B满足向量AF=3倍向量FB，则弦AB的中点到准线的距离

Question

如题所述

Answer 1

设抛物线的准线为l:x=-1. 设|FB|=m,则|FA|=3m.
过A、B两点向准线l作垂线AC、BD,,
由抛物线定义知：|AC|=|FA|=3m, |BD|=|FB|=m,
过B作BE⊥AC,E为垂足。
|AE|=|AC|-|CE|=|AC|-|BD|=3m-m=2m.
|AB|=|FA|+|FB|=4m.
在直角三角形AEB中，|BE|=√(|AB|�0�5-|AE|�0�5)=2√3m,
tan∠BAE=|BE|/|AE|=√3,
直线的斜率k= tan∠AFx= tan∠BAE=√3.

焦点F坐标为(1,0),
直线方程为y=√3(x-1).与抛物线方程y�0�5=4x联立并消去y得：
3x�0�5-10x+3=0,x=3或1/3.
所以弦AB的中点的横坐标为（3+1/3）/2=5/3.
准线为l:x=-1.
所以弦AB的中点到准线的距离为5/3+1=8/3.

Answer 2

过A作准线的垂线AM，过B作BN，则所求长度是1/2(AM+BN)=1/2AB，