数学平面几何问题

Question

如图在梯形ABCD中AD//BC,分别以两腰AB,CD为边作正方形ABEG和正方形DCHF，连接EF，设线段EF的中点为M，求证：MA=MD。（详细解答或清晰思路）

Answer 1

证明：过点A作AQ⊥BC于Q，过点D作DT⊥BC于T，过点E作EP⊥AD交DA的延长线于点P，过点F作FS⊥AD的延长线于S，过点M作MN⊥AD于N
∵AQ⊥BC，DH⊥BC，AD∥BC
∴矩形AQHD
∴AQ＝AH，∠AQB＝∠AHC＝90, ∠PAQ＝90
∴∠BAQ+∠BAP＝90
∵正方形ABGE
∴AE＝AB，∠BAE＝90
∴∠EAP+∠BAP＝90
∴∠EAP＝∠BAQ
∵EP⊥AD
∴∠APE＝∠AQB
∴△ABQ≌△AEP （AAS）
∴AP＝AQ
同理可证DS＝DT
∴AP＝DS
∵EP⊥AD，FS⊥AD，MN⊥AD
∴EP∥MN∥FS
∵M是EF的中点
∴MN是梯形EFSP的中位线
∴PN＝SN
∵PN＝AP+AN，SN＝DS+DN
∴AP+AN＝DS+DN
∴AN＝DN
∴MN垂直平分AD
∴MA＝MD

这是我之前的解答，有图：
http://zhidao.baidu.com/question/574102933.html追问

用向量如何解

追答

哦，我只会初中的方法

Answer 2

证明：过M作MN⊥AD于N，过F作FQ⊥MN于Q，过E作EP⊥MN于P，过D作DH⊥FQ于H，交BC于I
在△FHD与△DIC中，∠F=90°-∠FDH=∠CDI，∠FHD=∠DIC=90°，DF=DC，
∴△FHD≌△DIC，
∴FH=DI，
∴FQ=FH+HQ=DI+DN
同理可得，EP=DI+AN，
在△EPM和△FQM中，∠EPM=∠FQM=90°，∠EMP=∠FMQ，EM=FM
∴Rt△EPM≌Rt△FQM，
∴EP=FQ，
∴AN=DN，

Answer 3

http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/4ee0f2a3-f724-4ebd-b66b-3f811cef6621 详细解答 和解答思路都有