急求抛物线的焦点弦性质及其证明过程 在线等

Question

少于十个的别来 越多越好

Answer 1

如图，AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦，M是AB的中点， 是抛物线的准线， ，N为垂足，则：（1） ；（2） ；（3）设MN交抛物线于Q，则Q平分MN；（4）设A（x1，y1）、B（x2，y2），则；（5） ；（6）过M作 交x轴于E；则 ；（7）设 ，D为垂足，则A、O、D三点在同一条直线上；（8）设 则 ；（9）若 为直线AB的倾斜角，则 （10）以AB为直径的圆与 相切。证明：（1）过A 作 ，C为垂足。根据抛物线的定义， ， ，在梯形ABCD中， ， 由平面几何何结论知： 为 （2）在 中， 在 中， （3）在 中，连结QF，根据抛物线的定义，有 ，，即Q平分MN（4）由已知，直线AB的方程为 与 消去x ，得，根据韦达定理， （5） ，即证明 经整理，即证 ，由（4），这已经证明，所以结论成立。（6） ， ， 四边形MNEF为平行四边形， ，又 ， ；（7） 点D的坐标为 ，直线OA的的方程为 因此只要证明 ，即证明 ，即证明 这已由（4）证明，所以结论成立。（8） 根据抛物线的定义，知 ， 又 ，即 （9）当 时， 为通径显然成立， 当 时，直线AB的的斜率 ，所以直线AB的方程可设为： 代入抛物线 得到： （ ）由韦达定理得 由（8）知 因此 （10） M为AB的中点且 为直角梯形ABDC的中位线 又由抛物线的定义知 ，故以AB为直径的圆与 相切。