求两椭圆（x^2）／3+(y^2)≦1与x^2+(y^2)/3≦1内部的公共部分的面积，具体的过程，最好附说明！跪谢！

Question

如题所述

Answer 1

由椭圆方程知，两椭圆为全等椭圆，即两椭圆形状完全相同

由椭圆的对称性可知，两椭圆的四个交点和两坐标轴及直线y=±x

将公共部分平分为8个相等的部分

比如，设图中蓝色阴影部分面积为A1，则

公共部分（所有阴影）总面积为A=8A1

由方程组 x^2/3+y^2=1，x^2+y^2/3=1

易解得，x=√3/2，y=√3/2

即两椭圆在第一象限的交点为(√3/2,√3/2)

易知，面积A1由直线y=0, y=x, 及椭圆的一段弧围成

积分区间为x1≤x≤x2, 0≤y≤√3/2；其中，x1=y, x2=√[1-y^2/3]

∴A1=∫<0,√3/2>(x2-x1)dy

       =∫<0,√3/2>(√[1-y^2/3]-y)dy

       =∫<0,π/6>(cost-√3sint)√3costdt                y=√3sint, t∈[0,π/6]

       =√3∫<0,π/6>[(cost)^2-√3sintcost]dt

       =√3∫<0,π/6>[(cos2t+1)/2-√3sintcost]dt

       =√3{1/4∫<0,π/6>cos2td2t+1/2∫<0,π/6>dt-√3∫<0,π/6>sintdsint}

       =√3{1/4<0,π/6>sin2t+1/2<0,π/6>t-√3<0,π/6>(sint)^2/2}

       =√3{1/4*√3/2+1/2*π/6-√3*(1/2)^2/2}

       =√3/12*π

∴公共部分总面积为

A=8A1=8*√3/12*π=2√3/3*π