光滑曲线的参数方程为什么有一个限制条件是两个参数方程的导数不同时为0？

Question

如题所述

Answer 1

emm一楼跟二楼往两个不同的角度解释了
举个例子x=t^3，y=1，在(0，1)
之所以看做孤点，是因为切线的参数方程为x-0=0×u，y-1=0×u得的仍然是(0,1)这个点。所以说，这点求导得的导数的方向向量为(0,0)，没有意义。
而二楼说的是dx=3t^2=0，dy=0，其实dy/dx可在这题看出为0，不过在一般形式中是未定型。
这题也可以看出导数同时为0未必这点没有导数，只不过无法通过参数方程的形式表达。
PSx=t^2，y=t^4因在0处左极限不存在而无导数

Answer 2

因为0/0是不定型，需回避。追问

但是当两个参数方程导数都为0的时候，不是相当于短暂的（x,y）不动吗，反应在曲线上不就是曲线没有往前走，而是在一个点处短暂停留吗？感觉没有必要回避啊？还是说有会有其他的情况？

追答

dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=0/0,是不定的.

追问

式子是这样没错，但如果避开这个式子，用宏观的方式去想，当两个值同时为0时，反应在弧线上只是t在动而弧线上的点没有动，这样也不会对弧线造成什么影响啊？也不是说会使其无意义什么的，只是点暂时不动了而已，好像也没什么不可以的地方啊

追答

0/0是不定的，其意义需根据实际确定，通常不为0.

Answer 3

我随便想的 条件写的是不能同时为零，那就先想其中一个为零一个不为零 得出来的是一条直线。也可以用参数方程曲线的弧长那个式子算这个直线的长度 我们都把f'（x）＝0和f'（x＝0）＝0搞的有点混淆吧。如果这么想就说通了。我是不打算纠结了。

Answer 4

孤点不成线，光滑无从谈起。追问

只能说等于0的时候点停顿了一下，t走出了两个导数都等于0的地方，点不就变了吗，为什么会是孤点呢？

追答

x'(t)=0 y'(t)=0
=> x=C1 y=C2
=> {(x,y)|f(x,y)=0}={(C1,C2)} 可不就是个孤点

追问

这意思不就是说此时（x，y）一直为点（C1,C2）吗，不就是很多个t都对应一个点的意思吗，还是不明白为什么是孤点

追答

无数个 t 映射向一个 x
无数个 t 也映射向一个 y
研究 x 映射向 y 时可不就只剩孤点了吗？

追问

那这个点不也是弧上的一点吗，这样也算孤点吗？

追答

x -> y 只有一个点有定义啊
研究曲线的时候别把 t 扯进来，参量参量，参与变化的量，而不等同于变量。
自变量：研究的变化自他开始。
因变量：因为他而研究变化。
参变量：变化中转站，不易解析的隐函数式，引入参量可能使形式简约，但他不是研究的变化的起点也不是终点，所以此例参变量有无数个，研究的变化仍对应孤点。

还有，此孤点是二维的，即由两个坐标确定一个孤点，而二维（平面问题）是读题应该提取出的背景。

追问

t取其他值的时候不就有别的点了吗

追答

追问

这个映射关系我明白，，但是这个（x，y）最后不还是要表达在弧线上吗，老师你的意思是不是这俩导数一直为0？我理解的是在t的取值范围内，有一些t让两个导数同时为0了。那这些个t就都对应弧上的同一个点，取别的t的时候又会有别的点，总之这些t取到的点会连成一个弧线，这样不也可以吗？

追答

呃……你举个例，不是孤点的，实例！

追问

比如方程x=t^2，y=t^4，在t=0处俩导数都是0，但这个参数方程就是y=x^2，t=0时就是点（0，0），也不是孤点啊

追答

t≠0时已经不满足导数同时为0了，而t=0时不正是孤点吗？

好吧，我把为0理解成恒等了，你说的问题该这样考虑——

x=t³，y=t²则y=x^(2/3)，这个幂函数是双飞燕的样子，0处的去心邻域有定义，但是尖点，实质就是0/0是未定式造成的。

追问

连续的曲线为什么会有孤点呢？孤点不是单独的一个点吗？

追答

我的口风已经转弯了，你造吗？