总结函数性质及其研究方法

Question

如题所述

Answer 1

函数的定义
（1）传统定义：如果在某个变化过程中有两个变量x和y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么把y叫做x的函数，x叫做自变量，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。y是x 的函数，可以记作y ＝f（x）（f表示对应法则）。
（2）近代定义：设A、B都是非空的数的集合，f是从A到B的一个对应法则，那么A到B的映射f : A→B就叫做A到B的函数，记作y ＝f（x），其中x �8�3 A ,y�8�3B。原象的集合A叫做函数f（x）的定义域，象的集合C叫做函数f（x）的值域，显然C�8�2 B。
注意
①由函数的近代定义可知，函数是数集间的映射。
②对应法则f是联系x、y的纽带，是函数的核心，常用一个解析式表示，但在不少问题中，对应法则f也可能不便用或不能用上个解析式来表示，而是采用其他方式（如数表或图象等）。定义域（或原象集合）是自变量的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，它和对应法则是函数的两个重要因素。定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函数。
③f（a）与f（x）的涵义是不同的，f（a）表示自变量x＝a时所得的函数值，它是一个常量，而f（x）是x的函数，是表示对应关系的。
2、函数的性质
（1）函数的单调性
设y ＝f（x）是给定区间上的一个函数， 是给定区间上的任意两个值，且x1<x2，如果都有f(x1)<f(x2)，则称f（x）在这个区间上是增函数（也称f（x）在这个区间上单调递增）；如果都有f(x1)>f(x2)，则称f（x）在这个区间上是减函数（也称f（x）在这个区间上单调递减）。
如果函数y ＝f（x）在某个区间上是增函数或减函数，就说f（x）在这一区间上具有（严格）单调性，这一区间叫做f（x）的单调区间。
（2）函数的奇偶性
①如果对于函数定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数。
②如果对于函数定义域内任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数。
奇函数的图象关于原点成中心对称图形；偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。
3、反函数
（1）逆映射：设f : A→B是集合A到集合B上的一一映射，如果对于B中的每一个元素b，使b在A的原象a和它对应；这样所得的映射叫做映射f : A→B的逆映射，记作：f ^-1: A→B。
注：映射f : A→B也是映射f ^-1: A→B的逆映射，而且f ^-1: A→B 也是一一映射（从B到A上的一一映射）。
（2）如果确定函数y ＝f（x）的映射f : A→B是f（x）的定义域A到值域B上的一一映射，那么这个映射的逆映射f ^-1: A→B所确定的函数x=f^-1(y)叫做函数y ＝f（x）的反函数。
函数y ＝f（x）的定义域、值域分别是函数x=f^-1(y)的值域、定义域。
函数y ＝f（x）的反函数，习惯上写成y=f^-1(x)。
一般地，求函数y ＝f（x）的反函数的方法是先由y ＝f（x）解出x=f^-1(y)，然后把x=f^-1(y)改写成y=f^-1(x)。
函数y ＝f（x）和其反函数y=f^-1(x)的图象关于直线y＝x对称。
三角函数的图象和性质是平面三角的主体内容，它是代数中学过的函数的重要补充．本章复习的重点是进一步熟练和运用代数中已学过的研究函数的基本理论和方法，与三角变换配合由三角函数组成的较复杂函数的性质，在诸多性质中，三角函数的周期性和对应法则的“多对一”性，又是这里的特点所在，复习中不仅要注意知识、方法的综合性，还要注意它们在数学、生产、生活中的应用．

周期函数和最小正周期是函数性质研究的新课题，不仅要了解它们的意义，明确周期函数，函数值的变化规律，还要掌握周期性的研究对周期函数性质研究的意义，并会求函数的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期．

三角函数指的是，，，等函数，了解它们的图象的特征，会正确使用“五点法”作出它们的图象，并依据图象读出它们的性质，是本章的基础．对于性质的复习，不要平均使用力量，只要强调已学函数理论、方法的运用，强调数形结合的思想，而要把重点放在周期函数表达某些性质的规范要求上．例如，对于，怎么表述它的递增（减）区间，怎么表述它取最大（小）值时的取值集合，怎么由已知的函数值的取值范围，写出角的取值范围来，等等．还可对性质作些延伸，例如，研究它们的无数条对称轴的表示，无数个对称中心的表示等等．

正弦型函数是这里研究的又一个重点，除了会用“五点法”画出它的简图外，还要从图象变换的角度认识它与的图象的关系，对于三种基本的图象变换（平移变换，伸缩变换，对称变换）进一步进行复习和适当提交．

本章复习还要注意适当提交起点，注意把简单的三角变换与有关函数的性质结合起来，注意把三角函数和代数函数组合起来的综合性研究，注意在函数图象和单位圆函数线这两工具中的综合，择优使用．注意从数学或实际问题中概括出来的与正弦曲线有关的问题的研究，并注意立体几何、复数、解析几何等内容，对平面三角要求的必要准备的复习．

本章中数学思想最重要的是数形结合，另外换元的思想，等价变换和化归的思想，以及综合法、分析法、待定系数法等等，在复习中应有所体现．
反函数总是相对原函数而言的，原函数如果单调，反函数也单调（当然并不是单调性完全相同），原函数定义域就是反函数的值域，原函数的值域就是反函数的定义域。其他还有周期性，对称性，都要针对原函数来考虑。
一次函数y=kx+b (k≠0) k>0,b>0,则图象过1,2,3象限 k>0,b<0,则图象过1,3,4象限 k<0,b>0,则图象过1,2,4象限 k<0,b<0,则图象过2,3,4象限当k>0时，y随x的增大而增大；图像经过一、三象限当k<0时，y随x的增大而减小；图像经过二、四象限

Answer 2

函数的基本性质

一、知识复习：

1.增减函数定义：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个子变量的值x1,x2,

当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么我们就说函数f(x)在区间D上是增函数；

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个子变量的值x1,x2,当x1<x2时，

都有f(x1)>f(x2)，那么我们就说函数f(x)在区间D上是减函数.

2. 最值定义：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

(1).对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;

(2).存在x0∈I,使得f(x0)=M.

那么我们就说M是函数y=f(x)的最大值,

同理，把(1)中的f(x)≤M改为f(x)≥M,则M为f(x)的最小值。

3.奇偶函数的定义：

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x),那么f(x)叫做奇函数；

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x),那么f(x)叫做偶函数。

　

二、学法指导：

1、基本初等函数的单调性：

（1).正比例函数y=kx(k≠0) 当k>0时是R上的增函数，当当k<0时是R上的减函数

(2).反比例函数y=k/x(k≠0)

当k>0时,函数的单调递减区间为(-∞,0)，(0,+∞),不存在递增区间。

(注意：不能说在定义域内或在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数，它是分别在(-∞,0)和(0,+∞)

上减函数，并在一起不是，如是的话，则f(-1)>f(1)，即-k>k.显然不对。）

当k<0时,函数的单调递增区间为(-∞,0)，(0,+∞)，不存在递减区间。

(3).一次函数y=kx+b(k≠0)

当k>0时,函数y=kx+b在R上是增函数，当k<0时,函数y=kx+b在R上是减函数。

(4).二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)

当a>0时，递减区间为(-∞,-b/(2a)],递增区间为[-b/(2a),+∞);

当a<0时，递增区间为(-∞,-b/(2a)],递减区间为[-b/(2a),+∞)。

2.复合函数y=f[g(x)]的单调性：当f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y=f[g(x)]是增函数。

当f(x)和g(x)的单调性相反时，复合函数y=f[g(x)]是减函数。

3.对于函数f(x)±g(x)的单调性可总结为：

增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减。

4.用定义法证明函数的单调性的步骤：

(1).设x1,x2属于要证的区间，且x1<x2；

(2).比较f(x1)与f(x2)的大小，通常用作差法比较，此时比较它们大小的方法是作差、变形、看符号；

(3).下结论。

5.判断函数奇偶性的方法：

（1）定义法：其步骤为：先求函数的定义域，看是不是关于原点对称，如不是则不是奇偶函数，

如是再判断f(-x)与f(x)或-f(x)是否相等，若f(-x)=f(x)则是偶函数，若f(-x)=-f(x)则是奇函数。

(2)图象法：如果函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数，如果函数的图象关于y轴对称，

那么这个函数是偶函数。如果函数的图象关于原点和y轴均不对称，那么这个函数既不是奇函数又不是偶函数。

注意：分段函数的奇偶性要分段判断。

6.单调性与奇偶性：

（1）区别：函数的奇偶性是整个定义域上的性质，是“整体性质”，不能说在一个区间上是奇函数，在另

一个区间上是偶函数，而函数的单调性是在函数定义域或其子集上的性质，是“局部”性质，可以在一个

区间上是增函数，在另一个区间上是减函数。

(2)综合：如果函数y=f(x)是奇函数，那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相同的单调性；

如果函数y=f(x)是偶函数，那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相反的单调性；

Answer 3

1.连续性 初等函数在其定义域内的点都连续：分段函数则考虑段点处的左右极限值是否等于函数值.
函数可导则必连续,但连续不一定可导如f(x)=|x|在0点连续但不可导
相关知识点:介值定理,零值定理,罗尔定理,在闭区间的最值定理

2.单调性 用定义证明即在其定义域内对任意的X1<X2有Y1<Y2则函数在其定义域内单增,若Y1>Y2则函数在其定义域内单减.也可对函数求导,导数大于0即函数在其定义域内单增,导数小于0即函数在其定义域内单减.
相关知识点:极值与最值

3.奇偶性 在函数定义域内恒有f(x)=f(-x)则称f(x)在其定义域内为偶函数,在函数定义域内恒有f(x)=-f(-x)则称f(x)在其定义域内为奇函数
注意:单调性和奇偶性都应注意函数的定义域,脱离定义域就毫无意义

4.周期性 即函数f(x)对任意的x存在f(x+t)=f(x) 我们称t为f(x)的周期