高一数学

Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=25，圆O1的圆心为O1（m，0）且与圆O交于点P（3，4），过点P且斜率为（k≠0）的直线l分别交圆O，O1于点A，B．
（1）若K=1，且BP=7
2，求圆O1的方程；
（2）过点P作垂直于直线l的直线l1分别交圆O，O1于点C，D．当m为常数时，试判断AB2+CD2是否是定值？若是定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由

Answer 1

解：（1）K=1时，直线l：y-4=x-3，即x-y+1=0，
由题意得：
(
|m+1|2
)2+(
722
)2=(m-3)2+42
，
整理得，m2-14m=0，解得m=14或m=0（舍去），
所以圆O1的方程为（x-14）2+y2=137．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
直线l：y-4=k（x-3），即y=kx-（3k-4），
由

y=kx-(3k-4)x2+y2=25

消去y得，（k2+1）x2+（8k-6k2）x+9k2-24k-9=0，
由韦达定理得3x1=

9k2-24k-9k2+1

，
得x1=

3k2-8k-3k2+1

．
由

y=kx-(3k-4)(x-m)2+y2=(m-3)2+16

消去y得，（k2+1）x2+（8k-6k2-2m）x+9k2-24k-9+6m=0，
由韦达定理得3x2=

9k2-24k-9+6mk2+1

，
得x2=

3k2-8k-3+2mk2+1

．
所以，x1-x2=

2mk2+1

，
AB2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=（k2+1）（x1-x2）2=（k2+1）
(
2mk2+1
)2
=

4m2k2+1

．
同理可得，CD2=

4m2k2k2+1

，
所以，AB2+CD2=

4m2k2+1
+
4m2k2k2+1
=4m2
为定值．

Answer 2