已知Rt△ABC，E、F为边AB、AC上的点，D为边BC的中点，且∠EDF=90°。求证：BE平方+CF平方=EF平方

Question

如题所述

Answer 1

延长ED至H，使DH=DE，连接CH、FH。

易证△DEB≌△DHC

∴CH=BE，∠HCD=∠B

∵∠B+∠BCA=180°-∠A=90°

∴∠HCD+∠BCA=∠HCF=90°

∵FD⊥EH，DE=DH

∴FH=EF

∵在Rt△CHF中，CH^2+CF^2=FH

∴BE^2+CF^2=EF^2

常用周长面积公式：

1、长方形的周长=（长+宽）×2 C=(a+b)×2

2、正方形的周长=边长×4 C=4a

3、长方形的面积=长×宽 S=ab

4、正方形的面积=边长×边长 S=a×a

5、三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2

三角形角的性质：

1、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。

2、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。

3、在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。

4、一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。

5、在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。

6、 在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。

Answer 2

如图，延长ED至H，使DH=DE，连接CH、FH

易证△DEB≌△DHC

∴CH=BE，∠HCD=∠B

∵∠B+∠BCA=180°-∠A=90°

∴∠HCD+∠BCA=∠HCF=90°

∵FD⊥EH，DE=DH

∴FH=EF

∵在Rt△CHF中，CH^2+CF^2=FH

∴BE^2+CF^2=EF^2

 

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如果本题有什么不明白可以追问，如果满意记得采纳
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追问

是你自己做的吗？

追答

是我自己做的，又不是什么难题

追问

图也是自己画的？

厉害哈，你怎么知道这个方法？

追答

通常条件有什么中点的，都将和中点有联系的线倍长

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Answer 3

三角形AEF为直角三角形，所以有AE^2+AF^2=EF^2
而AE=BE,AF=FC
所以，BE^2+CF^2=EF^2
你看看对不追问

不对，E、F没说是中点。

追答

不好意思，应该用余弦定理证明
令：AE=a,AF=b,EB=c,FC=d,BD=DC=e,EF=f
∠EBD=α，∠FCD=β
所以有关系式：
1、(a+c)^2+(b+d)^2=(2e)^2
2、ED^2+FD^2=f^2
3、a^2+b^2=f^2
4、cosα=(a+c)/2e
5、cosβ=(b+d)/2e
6、ED^2=c^2+e^2-2cecosα
7、FD^2=d^2+e^2-2decosβ
将4、5、6、7式代入2式得8式
8、2e^2-ac-bd=f^2
然后将1式代入上8式得9式
9、 (a^2+b^2+c^2+d^2)/2=f^2
将3式代入9式得出 c^2+d^2=f^2
证明结束。

追问

太复杂了吧，初中的题目。

追答

学过余弦定理吗？

图里面没有字母表示长度，不方便，所以我做了一下标注。
其实核心就是ED^2+FD^2=AE^2+AF^2
其中ED和FD的长度表示用到了余弦定理。

追问

学过。。。

给你看看简单的做法

不过还是很厉害，功底不错哦！