芝诺是古希腊一个极善于诡辩的哲学家。他的一个众人皆知的“
阿基里斯永远追不上乌龟”的诡辩是这样的:阿基里斯是
古希腊神话中善跑的英雄。假设乌龟先爬一段路然后阿基里斯去追它。芝诺认为阿基里斯永远追不上乌龟。因为前者在追上后者之前必须首先达到后者的出发点,可是,这时后者又向前爬了一段路了。于是前者又必须赶上这段路,可是这时后者又向前爬了。由于阿基里斯和乌龟之间的距离可依次分成无数小段,因此阿基里斯虽然越追越近,但永远追不上乌龟。显然,这个结论在实践上是错误的,但奇怪的是这一论证在逻辑上似乎没有任何毛病。但用
微积分的思想,却可以发现:
由于这段路程被分成了无数小段,而根据芝诺的推论,在每一个小段里,阿基里斯是永远追不上乌龟的。这显然是正确的。可是,我们可以看到,这无数个小段加起来,阿基里斯就刚好可以追到。这涉及到等比无穷数列问题。如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时,该点与某条直线的距离趋于零,则称此直线为曲线的
渐近线,曲线与曲线的渐近线是没有交点的,所以,用微积分的思想是不能证明的,除非曲线与曲线的渐近线是有交点的。