高等数学极限的几个问题

Question

怎样求极限：（1）、证明：（1+1/n ）n 当n取正无穷时的极限为e(2)、(n2+1)×ln(1+ 2/n)×ln(1+3/n )当n取正无穷时的极限为多少？（3）、证明：(2n)/(3n+1) 当n取正无穷时的极限为1（4）证明：(sin n)/n 当n取正无穷时的极限为0(5)若un当n取正无穷时的极限为a，证明︱un︱当n取正无穷时的极限为︱a︱,并列举说明如果数列{︱un︱}的极限存在，但数列{u_n}的极限未必存在。各位学长们，我可不要快的，要过程详细的呀，谢谢你们了！

Answer 1

第一题那个本身就是e的一个定义 证明那个极限收敛可以参考豆丁 http://www.docin.com/p-19400252.html第二题直接凑：(n2+1)×ln(1+ 2/n)×ln(1+3/n )=[(n^2+1 )/(n/2)/(n/3)]*ln[(1+2/n)^(n/2)]*ln[(1+3/n)^(n/3)]容易知道结果是6（后面两个极限都是1）第三题 极限应该是2/3你估计题目写错了 上下同除以n得2/(3+1/n)极限显然是2/3 第四题 |(sin n）/n-0|<=|1/n|=1/n 任给。。。（八股文）取N=1/ε。。。第五题 ∵un当n取正无穷时的极限为a 有定义有任给ε>0 存在N,任意n>N,|un-a|<ε则对上述的N 有|︱un︱-|a||<=|un-a|<ε ∴︱un︱当n取正无穷时的极限为︱a︱反例：un=(-1)^n 则︱un︱极限为1 ，un极限显然不存在

Answer 2

（1）牛顿二项式定理展开得到e的表达式，即0到正无穷大的阶乘的倒数分之1。你找高数或者数学分析吧，这些都有。这个是要证明数列有界、收敛。（2）第二题n趋于正无穷，n^2+1可以用n^2代替，无穷大量加有界量把有界量吸收掉。然后n*n分配给每一个ln，提到ln里面指数上，就会发现跟e很像，但是内部分子2,3，你做变形就好。（3）n趋于正无穷，1被吸收舍掉，答案2/3（4）sin n是有界量，1/n在n趋于正无穷时是无穷小，无穷小乘以有界量还是无穷小，无穷小极限0。（5）该数列一正一负，比如-1,1，-1,1，-1,1……，极限不存在，但是绝对值的极限为1。这些都是微积分比较基础的，建议参看微积分教材极限部分。

Answer 3

重要极限 lim（1+m）^1/m 当m→0 时极限为e lim（1+1/n）^n 当n→∞时 1/n→0 所以极限为e